[논문 리뷰] Symplectic cohomology and Viterbo's theorem

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 토폴로지의 고급 기법, 특히 플로어 이론, 행렬식 선다발, 그리고 붙임 구조를 사용하여 코탄젠트 번들의 심플렉틱 코hom로지 $T^*Q$와 기저 다양체 $Q$의 루프 호몰로지 사이의 깊은 이somorphism을 수립한다. 핵심 결과는 바이터보의 정리의 증명으로, $T^*Q$의 심플렉틱 코hom로지가 $Q$의 자유 루프 공간의 호몰로지와 동형임을 보이며, $BV$ 연산자, 곱, 단위와 같은 연산들이 명시적으로 호환됨을 보인다.

ABSTRACT

This is a research monograph on symplectic cohomology (disguised as an advanced graduate textbook), which provides a construction of this version of Hamiltonian Floer cohomology for cotangent bundles of closed manifolds. The focus is on the aspects of the theory that have been neglected in the literature: (1) the base is not assumed to be orientable or Spin, (2) local systems on the free loop space are used to define twisted versions of Floer cohomology, (3) a (twisted) Batalin-Vilkovisky structure is constructed, and (4) the BV relation is verified. In this setting (i.e. with all the appropriate twists), a proof of Viterbo's theorem relating symplectic cohomology to the homology of the free loop space is provided, and we show that this map respects the BV structure. Viterbo's theorem is proved by constructing three different maps relating the two sides, and proving that two of the compositions are isomorphisms by using degenerations of moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces with boundary. Two of the maps constructed are new, and use ideas inspired by a Lagrangian version of family Floer cohomology.

연구 동기 및 목표

• 코탄젠트 번들의 심플렉틱 코hom로지 $T^*Q$와 기저 다양체 $Q$의 루프 호몰로지 사이의 표준적 이somorphism을 수립하기 위해.
• 심플렉틱 코hom로지 $SH^*(T^*Q) \cong H_*(\Lambda Q)$라는 바이터보의 추측을 증명하여, 마스лов 클래스가 0인 경우에 알려진 동형을 일반화하기 위해.
• 이소모르피즘의 전체 대수적 구조, 즉 $BV$ 연산자, 루프 곱, 단위를 유지함을 보여주기 위해.
• 구멍이 난 리만 표면 위의 프레드홀름 연산자의 붙임에서 발생하는 방향성 데이터의 부호 모호성을 해결하기 위해.
• 가속도가 있는 라그랑주 하이퍼표면과 준정규 곡선의 가중치를 사용하여 플로어 코hom로지와 모어스 호몰로지 사이의 체인 수준 호모토피 동치를 구성하기 위해.

제안 방법

• 영 섹션 위에 경계가 있는 해석적 원판의 모듈리 공간을 사용하여 $Q$의 모어스 호몰로지에서 $T^*Q$의 플로어 코hom로지로의 체인 사상을 구성하기 위해.
• 구멍이 난 디스크와 앤투리에서 프레드홀름 연산자의 붙임 이론을 사용하여 선형화된 $\overline{\partial}$-연산자의 행렬식 선다발을 방향성 데이터와 연결하기 위해.
• 마스лов 지수와 쌍대성에 기반한 경로의 라그랑주 하이퍼표면에 대한 표준적 자명화를 정의하여 붙임 이소모르피즘에서의 부호 비교를 가능하게 하기 위해.
• 경계가 있는 $r$개의 음의 구멍이 있는 해석적 원판과 라그랑주 하이퍼표면의 루프 사이의 연결 및 매개변수화를 통한 대응을 수립하기 위해.
• 계속성 사상과 붙임 사상의 복합이 $BV$ 관계와 곱의 구조와 호환됨을 검증하여 코hom로지 상에서 잘 정의된 이소모르피즘을 유도하기 위해.
• 통합 최대 원리와 정규성 결과를 사용하여 경계 조건이 있는 준정규 곡선의 모듈리 공간에서 컴acts와 전이성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 코hom로지 $SH^*(T^*Q)$는 자유 루프 공간 $\Lambda Q$의 호몰로지와 동형인가?
• RQ2 루프 호몰로지의 대수적 연산들—$BV$ 연산자, 루프 곱, 단위—는 심플렉틱 코hom로지의 것들과 어떻게 대응되는가?
• RQ3 구멍이 난 표면 위의 프레드홀름 연산자 붙임에서 발생하는 방향성 이소모르피즘의 올바른 부호 규칙은 무엇인가?
• RQ4 모어스 호몰로지 $Q$와 플로어 코호몰로지 $T^*Q$ 사이에 체인 수준 사상이 구성될 수 있으며, 이 사상이 원하는 이소모르피즘을 유도하는가?
• RQ5 유도된 라그랑주 하이퍼표면의 루프의 마스볼 지수가 방향성 데이터와 이소모르피즘의 부호에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 심플렉틱 코호몰로지 $SH^*(T^*Q)$는 루프 호몰로지 $H_*(\Lambda Q)$와 동형이며, 이 동형은 $BV$ 연산자, 곱, 단위와 호환된다.
• 구멍이 난 표면 위의 프레드홀름 연산자 붙임에서 발생하는 부호 모호성은 마스볼 지수 $\mu$와 차원 $n$에 따라 정의되는 부호 불변량 $\textrm{?`}_r^n(\mu)$에 의해 해결되며, 이는 라그랑주 하이퍼표면의 루프의 호모토피류에 따라 $1$ 또는 $-1$이 된다.
• 플로어 코호몰로지와 모어스 호몰로지 사이의 이소모르피즘은 경계가 영 섹션과 코탄젠트 섹션 위에 있는 구멍이 난 디스크와 앤투리에서 $\overline{\partial}$-연산자의 붙임을 통해 구성된 체인 사상에 의해 유도된다.
• 심플렉틱 코호몰로지의 곱은 $H_*(\Lambda Q)$의 루프 곱과 대응되며, $BV$ 연산자는 루프 $BV$ 연산자와 대응된다. 이는 팔다리 모듈리 공간과의 호환성으로 검증된다.
• 심플렉틱 코호몰로지의 단위는 이소모르피즘 하에서 $Q$의 기본류에 대응하며, 포함 사상과 계속성 사상과의 호환성이 보장된다.
• 최종 이소모르피즘은 라그랑주 하이퍼표면의 경로에 대한 호모토피에 대해 불변이며, 쌍대성과 마스볼 지수 조건에 의해 표준적 자명화를 사용함으로써 선택에 의존하지 않는다.