[논문 리뷰] Symplectic geometry and circuit quantization

Andrew Osborne, Trevyn F. Q. Larson외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 17.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 기술이 필요 없이 전자기 회로의 양자화를 위한 해밀토니안 체계를 심플렉틱 기하학 기반으로 제안한다. 비선형성 또는 역행성 요소(예: 조지프슨 접합, 양자 위상 슬립)를 가진 회로의 일관된 양자화를 그래프 이론적 구조와 캐논ical 쌍대 변수를 활용하여 가능하게 하여 이전에 해결하기 어려웠던 경우들을 통합적이고 알고리즘적인 방법으로 다룬다.

ABSTRACT

Circuit quantization is an extraordinarily successful theory that describes the behavior of quantum circuits with high precision. The most widely used approach of circuit quantization relies on introducing a classical Lagrangian whose degrees of freedom are either magnetic fluxes or electric charges in the circuit. By combining nonlinear circuit elements (such as Josephson junctions or quantum phase slips), it is possible to build circuits where a standard Lagrangian description (and thus the standard quantization method) does not exist. Inspired by the mathematics of symplectic geometry and graph theory, we address this challenge, and present a Hamiltonian formulation of non-dissipative electrodynamic circuits. The resulting procedure for circuit quantization is independent of whether circuit elements are linear or nonlinear, or if the circuit is driven by external biases. We explain how to re-derive known results from our formalism, and provide an efficient algorithm for quantizing circuits, including those that cannot be quantized using existing methods.

연구 동기 및 목표

• 표준 회로 양자화의 근본적 한계를 해결하기 위해, 조지프슨 접합 및 양자 위상 슬립과 같은 비선형성 또는 역행성 요소가 포함된 회로에서 실패하는 문제를 해결한다.
• 전역 라그랑주 함수의 존재에 의존하지 않는 해밀토니안 기반의 양자화 방법을 개발하여, 기존 접근법의 제약을 극복한다.
• 비산열 전자기 회로(복잡한 위상 구조 또는 특이 행동을 포함)에 대한 체계적이고 알고리즘적인 양자화 절차를 제공한다.
• 특히 위상적 또는 비선형 제약으로 인해 표준 쌍대 변수 쌍이 붕괴되는 경우에도, 스레드 및 전하 자유도를 통합적으로 다루는 방법을 제공한다.
• 새로운 체계로부터 기존 결과(예: 트랜스몬, 플럭스오니엄)를 회복하여, 그 일관성과 일반성을 검증한다.

제안 방법

• 그래프 이론을 사용하여 회로를 방향성 그래프로 공식화하고, 노드, 간선 및 인cidenc 행렬을 정의하여 회로 위상을 기술한다.
• 구성 공간의 코타angent 번들의 기반으로 심플렉틱 다양체를 구성하고, 회로의 위상에 기반한 캐논ical 쌍대 변수(자기력과 전하)를 도입한다.
• 심플렉틱 기하학을 적용하여 위상공간에 비퇴화되고 닫힌 2형식(심플렉틱 형식)을 정의함으로써 해밀토니안 역학의 일관성을 확보한다.
• 주기적 변수(예: 플럭스 양자 모듈로)를 다루기 위해 몰입 다양체 정리를 적용하여, 토러스 위상공간에서도 심플렉틱 구조를 유지한다.
• 심플렉틱 구조를 사용하여 에너지 함수에서 해밀토니안을 유도함으로써, 라그랑주 함수나 레지오르트 변환을 필요로 하지 않는다.
• 스패닝 트리 기반의 알고리즘 절차를 통해 독립적인 운동 변수와 쌍대 운동량을 식별하고, 체계적인 양자화를 가능하게 한다.

Figure 1: Examples of quantum circuits with Lagrangians using one or two types of generalized coordinates. (a) An inductor shunted by two capacitors: the Lagrangian of the circuit contains a single type of variable, the flux across the inductor, such that $L(\phi,\dot{\phi})$ . The charge-flux conju

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 또는 역행성 요소로 인해 전역 라그랑주 함수가 존재하지 않는 전자기 회로에 대해 일관된 해밀토니안 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 기하학과 그래프 이론을 어떻게 조합하여 위상 제약 조건 또는 주기적 변수가 있는 회로에서 캐논ical 쌍대 변수를 정의할 수 있는가?
• RQ3 노에르 노이터 전하의 역할은 무엇이며, 물리적 일관성을 잃지 않고 자유도를 감소시키는 데 언제 사용할 수 있는가?
• RQ4 제안된 체계가 통합적이고 기하학적인 관점에서 기존의 트랜스몬 또는 플럭스오니엄 큐비트 해밀토니안을 어떻게 회복하는가?
• RQ5 이 방법은 시간에 따라 변하는 외부 바이어스, 특이 요소 또는 혼합 플럭스-전하 비선형성을 가진 회로로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 표준 라그랑주 양자화가 실패하는 비선형 요소(예: 조지프슨 접합, 양자 위상 슬립)를 포함한 회로에 대해 일관된 해밀토니안 기술을 제공한다.
• 위상공간의 심플렉틱 구조는 회로 위상과 요소 성질로부터 직접 유도되며, 복잡한 구성에서도 캐논ical 교환관계가 유지됨을 보장한다.
• 몰입 다양체를 통해 주기적 경계 조건(예: 플럭스 양자화)을 효과적으로 다루며, 정확성 조건이 필요 없이도 심플렉틱 형식을 유지한다.
• 용량으로 둘러싸인 도시에 대한 독립적인 노에르 노이터 전하의 수는 |Γ_C| − 1임을 밝혀내어 전하 보존의 전역 대칭성으로 인한 과다 계산 문제를 해결한다.
• 두 개의 커패시터와 인덕턴스를 가진 삼노드 회로에서 조화 진동자 및 자유 입자 결합의 경우를 회복하여, 기존 라그랑주 결과와의 일관성을 확인한다.
• 스패닝 트리와 심플렉틱 축소 기반의 효율적인 알고리즘이 도입되어, 이전에 해결하기 어려웠던 경우(예: 더블모닉 큐비트 또는 특이 회로)에도 적용 가능하게 하였다.

Figure 2: Graph theory and quantum circuits. (a) An arbitrary circuit containing all four types of superconducting circuit elements: capacitors, inductors, Josephson junctions and quantum phase slips. The node fluxes are $\phi_{v_{i}}$ , while the branch charges across the capacitive elements are $q