[논문 리뷰] Symplectic level-rank duality via tensor categories

Victor Ostrik, Eric C. Rowell외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원주율에서의 C형 양자군에 기반한 브레드드 퓌셔 카테고리에 대해 심플렉틱 수준-랭크 dual을 수립하며, ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$와 반전된 카테고리 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 사이의 브레드 반전 등가를 증명한다. 결과는 두 가지 방법으로 증명되며, conformal embedding과 브레드드 퓌셔 카테고리의 분류를 활용하여, 홀수 단위근에서 비유닛성 경우로까지 확장된다.

ABSTRACT

We give two proofs of a level-rank duality for braided fusion categories obtained from quantum groups of type $C$ at roots of unity. The first proof uses conformal embeddings, while the second uses a classification of braided fusion categories associated with quantum groups of type $C$ at roots of unity. In addition we give a similar result for non-unitary braided fusion categories quantum groups of types $B$ and $C$ at odd roots of unity.

연구 동기 및 목표

• C형 양자군이 원주율에서 유도하는 브레드드 퓌셔 카테고리에 대해 수준-랭크 dual을 수립하는 것.
• 두 가지 서로 다른 증명을 제공하는 것: 하나는 conformal embedding을 사용하고, 다른 하나는 브레드드 퓌셔 카테고리의 분류를 사용하는 것.
• 홀수 단위근에서 B형 및 C형에 대해 비유닛성 브레드드 퓌셔 카테고리로 dual을 확장하는 것.
• 브레드드 모노이드 등가를 통해 유한 및 아핀 리 대수 표현 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 카테고리적 및 리 이론적 도구를 사용하여 A형 수준-랭크 dual을 심플렉틱 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 아핀 리 대수의 conformal embedding을 활용: $(\widehat{\mathfrak{sp}}_{2n})_{k} \oplus (\widehat{\mathfrak{sp}}_{2k})_{n} \subset (\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk})_{1}$를 통해 dual을 구성한다.
• 반전된 브레드드 퓌셔 카테고리 ${\mathcal{C}}^{-}$의 구조를, $\mathbb{Z}/2$-중복 카테고리의 홀수 등급 성분에서 브레이딩을 수정하여 구성한다.
• $\mathcal{C} \boxtimes s\mathrm{Vec}$의 대각선 구성 방법을 사용하여 $\mathbb{Z}/2$-중복 브레드드 구조를 실현한다.
• n × k 직사각형 내의 분할에 대한 조합적 자료를 사용하여 기저 표현과 가중치를 매개변수화한다.
• 심플렉틱 설정에서 Kac-Peterson 공식을 적용하여 특성식을 계산하고 dual을 검증한다.
• C형 결합 규칙을 가진 브레드드 퓌셔 카테고리의 재구성 기법을 활용하여 비유닛성 경우의 dual을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레드드 퓌셔 카테고리 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$와 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 사이에 브레드 반전 텐서 등가가 존재하는가?
• RQ2 C형 양자군이 원주율에서 수준-랭크 dual을 conformal embedding을 통해 증명할 수 있는가?
• RQ3 수준이 홀수 정수일 때 비유닛성 카테고리로 dual이 어떻게 확장되는가?
• RQ4 $\mathbb{Z}/2$-중복과 ${\mathcal{C}}^{-}$ 구성의 역할은 이중 카테고리의 실현에 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 C형 결합 규칙을 가진 브레드드 퓌셔 카테고리의 카테고리적 분류를 통해 dual이 증명될 수 있는가?

주요 결과

• ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$와 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ 사이에 브레드 반전 텐서 등가가 존재하여, 심플렉틱 수준-랭크 dual이 수립된다.
• 수준 1에서 $\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk}$로의 conformal embedding을 통해 직접 기하학적 구성이 이루어지며, dual이 증명된다.
• 두 번째 증명은 C형 결합 규칙을 가진 브레드드 퓌셔 카테고리의 분류를 활용하며, 고급 카테고리 이론 장비에 의존한다.
• 홀수 수준 $\ell$에 대해 비유닛성 카테고리로까지 dual이 확장되며, $\ell = 2k + 2n + 1$일 때 ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n},\ell)$가 이중 역할을 한다.
• $s \in S_{n+k}$에 대해 $s\rho - \rho_{\mathfrak{t}}$의 가중치 계산이 분할과 그 여집합 $\lambda^{c}$의 조합론과 일치하여, 표현론적 수준에서 dual이 확인된다.
• $W_{\mathfrak{t}}^{1}$이 검은색과 흰색 점 다이어그램과의 전단사 사상에 의해 $I_{n,k}$와 동형임을 보여주어, 군론과 분할 조합론을 연결한다.