[논문 리뷰] Symplectic quotients by a nonabelian group and by its maximal torus

Shaun Martin|ArXiv.org|2000. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 컴acts nonabelian 리 군 $G$와 그의 최대 토루스 $T\subset G$에 대해, 심플렉틱 몫 $X//G$와 $X//T$에서의 유리수 계량 위상수학적 링, 계량 위상수학적 쌍대, 그리고 타원형 연산자의 지수 사이의 정확한 관계를 수립한다. $H^*(X//G;\mathbb{Q})$가 $H^*(X//T;\mathbb{Q})$의 $W$-불변 부분환에서 $\Delta$의 루트 선다발들의 오일러 클래스의 곱의 영항자에 의한 몫임을 증명한다.

ABSTRACT

This paper examines the relationship between the symplectic quotient X//G of a Hamiltonian G-manifold X, and the associated symplectic quotient X//T, where T is a maximal torus, in the case in which X//G is a compact manifold or orbifold. The three main results are: a formula expressing the rational cohomology ring of X//G in terms of the rational cohomology ring of X//T; an `integration' formula, which expresses cohomology pairings on X//G in terms of cohomology pairings on X//T; and an index formula, which expresses the indices of elliptic operators on X//G in terms of indices on X//T. (The results of this paper are complemented by the results in a companion paper, in which different techniques are used to derive formulae for cohomology pairings on symplectic quotients X//T, where T is a torus, in terms of the T-fixed points of X. That paper also gives some applications of the formulae proved here.)

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 비아벨리안 리 군 $G$와 그의 최대 아벨리안 부분군인 $T$에 대해, 심플렉틱 몫 $X//G$와 $X//T$의 유리수 계량 위상수학 링 간의 구조적 관계를 수립하는 것.
• 계량 위상수학 쌍대를 $X//G$에서 $X//T$로 표현하는 통합 공식을 유도하는 것. 이를 위해 계량 위상수학 클래스의 '올리프트'를 사용한다.
• 심플렉틱 몫 $X//G$에서의 타원형 연산자에 대한 지수 정리를, $T$-심플렉틱 몫을 기반으로 구성하는 것.
• 자유 작용과 컴팩트성 조건 하에서, 더 단순한 토릭 몫 $X//T$를 통해 심플렉틱 몫의 위상수학적 불변량을 계산할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 심플렉틱 몫 $X//G = \mu_G^{-1}(0)/G$와 $X//T = \mu_T^{-1}(0)/T$를 정의한다. 여기서 $\mu_G$와 $\mu_T$는 각각 $G$-작용과 $T$-작용에 대한 모멘트 맵이다.
• 주 $T$-_bundle $\mu_T^{-1}(0) \to X//T$를 이용해, $T$-중량 $\alpha$에 관련된 선다발의 오일러 클래스인 $e(\alpha) \in H^2(X//T;\mathbb{Q})$를 구성한다.
• 루트 집합 $\Delta$에 대해 $e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$를 정의하고, $H^*(X//T;\mathbb{Q})^W$ 내의 이상 $\operatorname{ann}(e)$를 고려한다.
• Weyl 군 $W$에 대해, $H^*(X//G;\mathbb{Q}) \cong H^*(X//T;\mathbb{Q})^W / \operatorname{ann}(e)$인 링 동형사상을 수립한다.
• 계량 위상수학 클래스 $a \in H^*(X//G)$의 '올리프트' $\tilde{a} \in H^*(X//T)$를, $\pi: Y \to X//G$와 $i: Y \hookrightarrow X//T$를 따라의 인플로우 및 제약을 통해 정의한다. 여기서 $Y = \mu_G^{-1}(0)/T$이다.
• 통합 공식을 유도한다: $\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$로, $X//G$에서의 계량 위상수학 쌍대를 $X//T$에서의 쌍대와 연결한다.
• $X//G$에 심플렉틱 형식과 호환되는 거의 복소수 구조를 정의하고, 복소수 벡터 번들의 $V$ 위에 디랙 유형 연산자 $D_V$를 구성한다.
• 지수 공식을 증명한다: $\operatorname{index}^{X//G} D_V = \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E} - \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E}$, 여기서 $E$는 $T$-중량의 벡터 번들이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨리안 컴팩트 리 군 $G$에 의한 심플렉틱 몫 $X//G$의 유리수 계량 위상수학 링은 어떻게 $T$-몫인 $X//T$의 위상수학으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 계량 위상수학 쌍대가 $X//G$와 $X//T$ 사이에서 정확히 어떤 관계를 가지며, Weyl 군과 특성 클래스를 포함하는 공식으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $X//G$에서의 타원형 연산자 지수는 $T$-심플렉틱 몫인 $X//T$의 자료를 이용해 계산될 수 있는가?
• RQ4 $X//G$의 위상수학적 불변량—예를 들어 계량 위상수학 링의 구조나 지수—는 최대 아벨리안 부분군 $T$의 고정점 데이터와 표현 이론과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 유리수 계량 위상수학 링 $H^*(X//G;\mathbb{Q})$는 $H^*(X//T;\mathbb{Q})$의 $W$-불변 부분환에서 $e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$의 영항자에 대한 몫과 동형이다. 여기서 $\Delta$는 군 $G$의 루트 집합이다.
• 통합 공식 $\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$는 $X//G$에서의 계량 위상수학 쌍대를 $X//T$에서의 쌍대로 표현하며, $\pi^*a = i^*\tilde{a}$를 만족하는 $a$의 올리프트 $\tilde{a}$를 포함한다.
• 심플렉틱 몫 $X//G$에서의 타원형 연산자 $D_V$의 지수는 $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E$와 $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E$의 지수들의 교대 합으로 주어진다. 여기서 $E$는 $T$-중량의 벡터 번들이다.
• 그라스만이안 $G(k,n)$에 대해 통합 공식은 다음을 유도한다: $\int_{G(k,n)} \prod_{i=1}^k c_i(V^*)^{m_i} = \frac{1}{k!} \operatorname{coeff}_{u_1^{n-1}\cdots u_k^{n-1}}\big(\sigma_1^{m_1}\cdots\sigma_k^{m_k} \cdot \prod_{i\neq j}(u_i - u_j)\big)$, 여기서 $\sigma_i$는 기본 대칭 다항식이다.
• 그라스만이안 $G(k,n)$에서 타우토로지컬 번들 $V^*$의 케르른 클래스는 $u_j$에 대한 기본 대칭 다항식으로 식별되며, $(\mathbb{CP}^{n-1})^k$ 위의 $T$-선다발들의 오일러 클래스는 $u_j - u_i$이다.
• $G(k,n)$을 $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^k,\mathbb{C}^n)//U(k)$로 심플렉틱 몫으로 구성할 때, 모멘트 맵 $\mu_{U(k)}(A) = A^*A - I$를 고려하면 $\mu_{U(k)}^{-1}(0)$는 정규 직교 $k$-프레임의 공간이 되며, $U(k)$로 몫을 취하면 $G(k,n)$이 된다.