[논문 리뷰] Symplectic Resolutions for Quotient Singularities

Baohua Fu|ArXiv.org|2002. 06. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 복소다양체 $X$의 코탄젠트(bundle) $T^*X$ 가 유한군 $G \subset \mathrm{Aut}(X)$ 에 의해 대칭형식을 보존하면서 몫을 취한 후, 그 결과인 $T^*X/G$ 가 심플렉틱 해소를 가질 경우, $X/G$ 는 반드시 매끄럽고, 그 해소 $Z$ 는 $T^*(X/G)$ 와 동형인 열린 부분집합을 포함한다. 주요 기여는 $X = \mathbb{P}^n$ 이고 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 일 때, 군 원소의 고유값의 다중성을 통해 표현되는 매클린 타입의 호지 수에 대한 대응관계를 설정하는 것이다.

ABSTRACT

We give some necessary conditions for the existence of a symplectic resolution for quotient singularities. The McKay correspondence is also worked out for these resolutions.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 특이점의 몫 $T^*X/G$ 에 대한 심플렉틱 해소의 존재에 필요한 조건을 규명하는 것.
• 만약 $T^*X/G$ 가 심플렉틱 해소를 가질 경우, 그 해소 $Z$ 의 기하적 구조를 규명하는 것.
• $X = \mathbb{P}^n$ 이고 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 일 때, 해소 $Z$ 의 호지 수에 대한 매클린 대응관계 유형의 공식을 수립하는 것.
• 군론적 자료 $G$ 를 통해 $Z$ 의 위상적 불변량, 예를 들어 오일러 특성수를 유도하는 것.

제안 방법

• $T^*X/G$ 에 대한 ${\mathbb{C}}^*$-작용과 그 해소 $Z$ 에로의 올림을 이용하여 심플렉틱 형식의 가중치를 분석하고, 등가 해소 기법을 적용한다.
• 칼라딘과 후의 심플렉틱 해소 및 ${\mathbb{Q}}$-팩터리얼성 결과를 적용하여 고정점 집합 $\bigcup_{g \neq 1} \mathrm{Fix}(g)$ 의 제약 조건을 설정한다.
• 궤도 E-함수와 E다항식을 사용하여 해소 $Z$ 의 호지 이론적 불변량을 계산한다.
• $Z$ 의 호지 다항식이 군 $G$ 의 공轭류와 원소 $g \in G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 의 고유값 다중성 $k_i(g)$ 와 어떻게 관련되는지 분석한다.
• 고정점 집합 $X^g$ 와 그 중심화자에 의한 몫의 피브레이션 구조를 이용하여 E다항식을 계산한다.
• 포incare 쌍대성과 변수 변경을 적용하여 $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 의 베텨 수의 생성함수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 $G$ 가 $T^*X$ 에 심플렉틱적으로 작용할 때, $T^*X/G$ 가 언제 심플렉틱 해소를 가질 수 있는가?
• RQ2 만약 $T^*X/G$ 가 심플렉틱 해소를 가질 경우, 그 해소 $Z$ 는 어떤 기하적 구조를 가져야 하는가?
• RQ3 $X = \mathbb{P}^n$ 이고 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 일 때, $Z$ 의 호지 수에 대한 매클린 대응관계 유형의 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ4 $Z$ 의 베텰 수와 오일러 특성수는 군 $G$ 의 공轭류와 고유값 자료와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\Sigma$ 가 매끄러운 사영 곡선일 때, Hilbert 스킴 $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 의 코homology 는 무엇인가?

주요 결과

• $T^*X/G$ 가 심플렉틱 해소를 가질 경우, $X/G$ 는 매끄럽고, 그 해소 $Z$ 는 $T^*(X/G)$ 와 동형인 열린 부분집합을 포함한다.
• $X = \mathbb{P}^n$ 이고 $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ 일 때, 해소 $Z$ 의 호지 다항식은 $\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(Z)u^p v^q = (uv)^n \sum_{\{g\}} \sum_i \frac{(uv)^{k_i(g)} - 1}{uv - 1}$ 로 주어지며, 여기서 $k_i(g)$ 는 $g \in G$ 의 고유값 다중성이다.
• 해소 $Z$ 의 오일러 특성수는 $e(Z) = (n+1) c(G)$ 이며, 여기서 $c(G)$ 는 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n)$ 에서의 군 $G$ 의 공轭류의 수이다.
• $H^{2j+1}(Z,\mathbb{C}) = 0$ for all $j$, 그리고 모든 $i$ 에 대해 $H^{2i}(Z,\mathbb{C})$ 는 $(i,i)$-형식의 호지 성분만을 가지며, $i < n$ 일 때 $H^{2i}(Z,\mathbb{C}) = 0$ 이다.
• $Hilb^n(T^*\Sigma)$ 의 베텔 수의 생성함수는 $\sum_{n=0}^\infty P_t(Hilb^n(T^*\Sigma)) q^n = \prod_{d=1}^\infty \frac{(1 + t^{2d-1} q^d)^{b_1(\Sigma)}}{(1 - t^{2d-2} q^d)^{b_0(\Sigma)} (1 - t^{2d} q^d)^{b_2(\Sigma)}}$ 이며, 이는 고츠체의 공식을 복원한다.
• $X = \mathbb{C}^n$ 이고 $G$ 가 심플렉틱적으로 작용할 경우, 해소 $Z$ 는 단순연결이고 유리적이다.