[논문 리뷰] Symplectic resolutions of the Hilbert squares of ADE surface singularities

Ryo Yamagishi|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ADE 표면 특이점에서 두 점의 Hilbert 스킴의 해석적 기저가 해당 ADE 유형의 리 대수에서의 하위하위정규(nilpotent) 궤도를 통과하는 Slodowy 절단과 동형임을 증명한다. 심플렉틱 해석과 그 중심 근처의 구조를 심플렉틱 및 파울슨 구조를 통해 분석함으로써, 저자들은 특이점의 유형이 중심 근처에 의해 유일하게 결정됨을 증명하며, 고전적인 Brieskorn-Slodowy 결과를 하위하위정규 경우로 확장한다.

ABSTRACT

We study symplectic resolutions of the Hilbert scheme of two points on a surface with one ADE-singularity. We also characterize such singularities by central fibers of their symplectic resolutions. As an application, we show that these singularities are isomorphic to the Slodowy slices which are transversal to the `sub-subregular' orbits in the nilpotent cones of ADE-types.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 해석의 중심 근처를 통해 ADE 표면 특이점을 특성화한다.
• 해석적 특이점 유형이 해석의 중심 근처의 동형류에 의해 결정됨을 보인다.
• ADE 표면 특이점에서 두 점의 Hilbert 스킴과 ADE 유형 리 대수에서의 Slodowy 절단 간의 대응 관계를 설정한다.
• Brieskorn-Slodowy 이론을 하위정규에서 하위하위정규 궤도로 확장한다.

제안 방법

• 최소 해석 Γ̃에서의 Hilb²(Γ̃)로부터의 순차적 블로우업과 Mukai 플롭을 통해 ADE 표면 특이점 Γ에 대한 Hilb²(Γ)의 심플렉틱 해석을 구성한다.
• Hilb²(Γ)의 정의 방정식과 해석에서 중심 근처 F의 구조를 명시적으로 기술한다.
• 심플렉틱 및 파울슨 구조를 사용하여 중심 근처의 형식적 이웃을 분석하고, 그것이 근처 자체에 의해 결정됨을 보인다.
• 형식적 이웃의 전반적 구조가 코homology 군에 의해 제어되며, 동형류에 대해 유일하게 결정됨을 증명한다.
• Hilb²(Γ)의 심플렉틱 해석의 중심 근처와 ADE 유형 리 대수에서의 Slodowy 절단의 중심 근처를 비교한다.
• Lorist의 하위하위정규 궤도에 대한 스프링거 섬유의 묘사를 사용하여 중심 근처 간의 동형을 보이고, 이로써 특이점의 기저 동형을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네 차원 심플렉틱 특이점의 해석적 유형은 심플렉틱 해석에서 중심 근처의 동형류에 의해 결정될 수 있는가?
• RQ2 ADE 표면 특이점에서 두 점의 Hilbert 스킴과 ADE 유형 리 대수에서의 Slodowy 절단 간에 대응 관계가 존재하는가?
• RQ3 Hilb²(Γ)의 심플렉틱 해석의 중심 근처와 하위하위정규 궤도를 통과하는 Slodowy 절단의 중심 근처는 일치하는가?
• RQ4 심플렉틱 및 파울슨 구조는 심플렉틱 해석에서 라그랑주 부분다양체의 형식적 이웃을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 Brieskorn-Slodowy 결과를 하위정규 궤도에서 하위하위정규 경우로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• Hilb²(Γ)의 심플렉틱 해석의 중심 근처는 정리 3.6에 의해 특이점의 해석적 유형을 유일하게 결정한다.
• 해석에서 중심 근처의 형식적 이웃은 그 근처의 코 tangent bundle과 동형이며, 그 전반적 구조는 근처의 동형류에 의해 유일하게 결정된다.
• An 유형(n ≥ 3)과 En 유형의 경우, Hilb²(Γ)와 하위하위정규 궤도를 통과하는 Slodowy 절단의 중심 근처는 서로 동형이다.
• Dn 유형(n ≥ 4)의 경우, 0차원 심플렉틱 잔여류의 유형이 일치하도록 선택하면 Hilb²(Γ)와 Slodowy 절단의 중심 근처는 동형이다.
• Hilb²(Γ)의 유일한 0차원 심플렉틱 잔여류에서의 해석적 기저는 정리 4.2에 따라 하위하위정규 궤도에서의 Slodowy 절단의 해석적 기저와 동형이다.
• An 유형의 결과는 Manolescu의 작업을 확장하며, 저자들은 Dn 및 En에 대해서도 유사한 결과가 성립할 수 있다고 추측한다. 또한 비단순 연결 유형의 경우에도 가능성이 존재한다고 제안한다.