[논문 리뷰] Symplectic topology of Lagrangian submanifolds of CP^n with intermediate minimal Maslov numbers

Hiroshi Iriyeh|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 ℂPⁿ 내에서 중간 최소 마스лов 수를 가진 단조성 라그랑주 부분다양체의 심플렉틱 위상수학을 조사한다. 주로 SU(p)/ℤₚ 및 SU(p)/SO(p)ℤₚ와 같은 가닥을 다루며, 비라안-코르니아 이론과 ℤ₂ 계수의 플로어 코homology를 사용하여 호학적 강성과 비이동 가능성을 확립한다. n=5 및 n=8일 때 이러한 라그랑주 부분다양체는 각각 SU(3)/ℤ₃ 및 SU(3)/(SO(3)ℤ₃)와 코homology가 동형이며, 최소 마스볼 수와 동일한 차수의 유리 루프 성질을 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

We examine symplectic topological features of certain family of monotone Lagrangian submanifolds in CP^n. Firstly, we give a cohomological restriction for Lagrangian submanifolds in CP^n whose first integral homologies are 3-torsion. In particular, in the case where n=5,8, we prove the cohomologies with coefficients in Z_2 of such Lagrangian submanifolds are isomorphic to that of SU(3)/(SO(3) Z_3) and SU(3)/Z_3, respectively. Secondly, we calculate the Floer cohomology of a monotone Lagrangian submanifold SU(p)/Z_p in CP^{p^2-1} with coefficients in Z_2 by using Biran-Cornea's theory.

연구 동기 및 목표

• ℂPⁿ 내에서 중간 최소 마스볼 수를 가진 단조성 라그랑주 부분다양체의 심플렉틱 위상수학을 조사한다.
• ℂP⁵ 및 ℂP⁸에서 첫 번째 호군이 3- torsion을 가진 라그랑주 부분다양체에 대해 호학적 강성을 확립한다.
• 비라안-코르니아 이론을 사용하여 ℂP^{p²−1} 내 SU(p)/ℤₚ의 플로어 코homology를 계산한다.
• 이러한 라그랑주 부분다양체에 대해 비이동 가능성과 유리 루프 성질을 증명한다.
• ℂPⁿ 내 단조성 라그랑주 부분다양체의 분류에 기여하고, 그들이 심플렉틱 준상태 및 양자 코homology에서 수행하는 역할을 탐색한다.

제안 방법

• 단조성 라그랑주 부분다양체에 대해 ℤ₂ 계수의 플로어 코homology 이론으로 비라안-코르니아 이론을 사용한다.
• H₁에서 3- torsion을 가진 라그랑주 부분다양체의 구조에서 유도된 코homological 제약 조건을 적용한다.
• 최소 마스볼 수 N_L를 라그랑주 부분다양체를 분류하고 강성 조건을 결정하는 핵심 불변량으로 사용한다.
• 정리 24를 적용하여 좁은 성질과 코homology에서의 환 생성 조건을 검증함으로써 N_L 차수의 유리 루프 성질을 증명한다.
• 라그랑주 원환면 배럴 구조와 오의 결과를 사용하여 N_L ∈ [1, n+1]으로 Bound한다.
• H*(L;ℤ₂)가 차수 ≤ 2p−1 이하의 클래스들에 의해 생성된다는 사실을 이용하여 유리 루프 정리들을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂPⁿ 내에서 H₁(·;ℤ)에 3- torsion을 가진 단조성 라그랑주 부분다양체는 호학적으로 강한가, 즉 차원 5와 8에서 각각 SU(3)/ℤ₃ 및 SU(3)/(SO(3)ℤ₃)와 동일한 코homology 링을 가지는가?
• RQ2 비라안-코르니아의 프레임워크를 사용하여 ℂP^{p²−1} 내 SU(p)/ℤₚ의 플로어 코homology를 ℤ₂ 계수로 계산할 수 있는가?
• RQ3 모든 p ≥ 2에 대해 ℂP^{p²−1} 내에서 라그랑주 부분다양체 SU(p)/ℤₚ는 비이동 가능한가?
• RQ4 최소 마스볼 수 N_L = 2p일 때, SU(p)/ℤₚ에 대해 유리 루프 성질이 성립하는가?
• RQ5 중간 최소 마스볼 수(2p 및 p+1)는 ℂPⁿ 내 단조성 라그랑주 부분다양체의 심플렉틱 위상수학과 분류에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• n=5일 때, H₁(L;ℤ)에 3- torsion을 가진 임의의 단조성 라그랑주 부분다양체 L ⊂ ℂP⁵는 H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/(SO(3)ℤ₃);ℤ₂)를 만족한다.
• n=8일 때, H₁(L;ℤ)에 3- torsion을 가진 임의의 L ⊂ ℂP⁸는 H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/ℤ₃;ℤ₂)를 만족한다.
• ℂP^{p²−1} 내 SU(p)/ℤₚ의 플로어 코homology는 ℤ₂ 계수로 비자명하므로, 비이동 가능성에 의해 유도된다.
• p가 홀수 소수일 때, 라그랑주 부분다양체 SU(p)/ℤₚ는 좁고, N_L = 2p 차수의 유리 루프 성질을 가진다.
• ℂP^{p²−1} 내 SU(p)/ℤₚ의 최소 마스볼 수 N_L = 2p이며, p가 소수일 때 ℂP^{(p(p+1)/2)−1} 내 SU(p)/SO(p)ℤₚ의 N_L = p+1이다.
• 유리 루프 결과는 SU(p)/ℤₚ 및 두 가지 다른 경우에 대해 성립한다: N_L = 6인 ℂP⁸ 내 L 및 N_L = 18인 ℂP²⁶ 내 L이며, 주어진 코homological 조건을 만족할 때 적용된다.