[논문 리뷰] Symplectormophism groups of non-compact manifolds, orbifold balls, and a space of Lagrangians

Richard Hind, Martin Pinsonnault외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원추 특이점을 가진 볼의 심플렉틱 임베딩 공간과 히르체브루흐 표면의 카플러 등장군 사이의 호모토피 동치를 확립하여, RP²의 코타angent(bundle) 내에 있는 라그랑주 실수 프로젝티브 평면의 공간이 약한 의미로 수축 가능하다는 것을 증명한다. 심플렉틱화와 접촉 기하학을 통해 비콤팩트 다양체의 심플렉토모피즘 군을 대수적 표면의 등장군과 연결함으로써, 심플렉틱 팩킹과 라그랑주 공간에 관한 기존 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We establish connections between contact isometry groups of certain contact manifolds and compactly supported symplectomorphism groups of their symplectizations. We apply these results to investigate the space of symplectic embeddings of balls with a single conical singularity at the origin. Using similar ideas, we also prove the longstanding expected result that the space of Lagrangian $\RR P^2$ in $T^*\RR P^2$ is weakly contractible.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 다각형의 접촉 다양체의 심플렉틱화로 유도되는 비콤팩트 심플렉틱 다양체의 심플렉토모피즘 군의 호모토피 유형을 이해하는 것.
• 기하학적 및 위상수학적 기법을 사용하여 원추 특이점을 가진 볼의 심플렉틱 임베딩 공간을 분석하는 것.
• RP²의 코타angent(bundle) 내 라그랑주 실수 프로젝티브 평면의 공간이 약한 의미로 수축 가능하다는 것을 증명하여, 기존의 라그랑주 구에 관한 결과를 확장하는 것.
• 심플렉틱화된 렌즈 공간의 컴팩트 지지 심플렉토모피즘 군과 대수적 표면의 등장군의 기저 기반 루프 공간 사이의 대응 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• L(n,1)의 심플렉틱화의 심플렉토모피즘 군을 선다발 O(n)의 영 섹션을 제외한 구멍이 난 전체 공간의 심플렉토모피즘 군으로 감소시킨다.
• Hirzebruch 표면 F_n에서 무한대 섹션과 영 섹션의 여부를 이용하여 sL(n,1)을 F_n의 무한대 섹션과 영 섹션의 여부로 식별함으로써, 심플렉토모피즘 군과 카플러 등장군 간의 관계를 설정한다.
• 심플렉틱 팩킹 이론과 동치성 이론을 적용하여, 원추 특이점을 가진 볼의 심플렉틱 임베딩이 히르체브루흐 표면 F_n의 카플러 등장군 K_n과 호모토피 동치임을 보인다.
• 특이점을 가진 볼 위에 선장치를 구성하여, 컴팩트 지지 미분구조와 자명화된 프로젝티브 접선다발의 단면들 사이의 관계를 설정한다.
• 구간 위의 미분구조 공간의 수축 가능성과 R로의 사상 공간의 수축 가능성에 기반하여, 자명한 선장치와 호모토피 가능한 선장치 공간이 수축 가능하다는 것을 보인다.
• 특이점을 가진 볼의 컴팩트 지지 미분구조 공간과 이러한 선장치 공간 사이의 호모토피 동치를 설정함으로써, 미분구조 군의 수축 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 렌즈 공간 L(n,1)의 심플렉틱화의 컴팩트 지지 심플렉토모피즘 군의 호모토피 유형은 무엇인가요?
• RQ2 원추 특이도가 n인 특이 볼의 심플렉틱 임베딩은 대수적 표면의 등장군과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 T*RP² 내 라그랑주 RP² 부분다양체의 공간은 약한 의미로 수축 가능한가요? 이는 기존의 라그랑주 구에 관한 결과와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 기하학적 및 위상수학적 감소 기법을 통해 크기가 1인 특이 볼의 심플렉토모피즘 군이 수축 가능하다는 것을 보일 수 있나요?
• RQ5 히르체브루흐 표면 F_n의 카플러 등장군은 특이 볼의 심플렉틱 임베딩을 분류하는 데 어떤 역할을 하나요?

주요 결과

• L(n,1)의 심플렉틱화의 컴팩트 지지 심플렉토모피즘 군은 SU(2)의 기저 기반 루프 공간과 약한 호모토피 동치이며, 가чёт한 수의 성분을 가진다.
• 크기가 ε ∈ (0,1)인 특이 볼에서 크기가 1인 특이 볼로의 심플렉틱 임베딩 공간은 히르체브루흐 표면 F_n의 카플러 등장군 K_n과 호모토피 동치이다.
• 크기가 1인 특이 볼의 축소된 컴팩트 지지 심플렉토모피즘 군은 수축 가능하다.
• C^∞-위상이 부여된 T*RP² 내 라그랑주 RP² 부분다양체의 공간은 약한 의미로 수축 가능하다.
• n=1일 때, 결과는 기존의 사실인 심플렉틱 임베딩 공간 B(ε)→B(1)이 U(2)로의 변형 수축을 한다는 사실로 축소된다.
• 원추 특이도가 n인 특이 4차원 볼의 컴팩트 지지 미분구조 공간은 선장치 및 동치성 기법을 통해 수축 가능하다.