[논문 리뷰] Synchronizing Deterministic Push-Down Automata Can Be Really Hard

Henning Fernau, Petra Wolf외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 결정성 스택 자동기(DPDA)의 동기화 복잡도를 조사하며, 일반적인 DPDA에 대해서는 동기화 가능성 문제가 결정 불가능하다는 것을 증명한다. 이는 결정성 한 개 카운터 자동기 및 한 번 전환 스택 자동기의 경우에도 마찬가지이다. 그러나 유한 전환 및 유한 스택 크기 제약 조건을 동시에 적용할 경우 문제는 PSPACE-완전해지며, 부분적으로 막힌 카운터 자동기의 경우 동기화 가능성 문제가 결정 가능해져, 자동기 동기화 문제에서 결정 가능성과 결정 불가능성의 뚜렷한 경계를 드러낸다.

ABSTRACT

The question if a deterministic finite automaton admits a software reset in the form of a so-called synchronizing word can be answered in polynomial time. In this paper, we extend this algorithmic question to deterministic automata beyond finite automata. We prove that the question of synchronizability becomes undecidable even when looking at deterministic one-counter automata. This is also true for another classical mild extension of regularity, namely that of deterministic one-turn push-down automata. However, when we combine both restrictions, we arrive at scenarios with a PSPACE-complete (and hence decidable) synchronizability problem. Likewise, we arrive at a decidable synchronizability problem for (partially) blind deterministic counter automata. There are several interpretations of what synchronizability should mean for deterministic push-down automata. This is depending on the role of the stack: should it be empty on synchronization, should it be always the same or is it arbitrary? For the automata classes studied in this paper, the complexity or decidability status of the synchronizability problem is mostly independent of this technicality, but we also discuss one class of automata where this makes a difference.

연구 동기 및 목표

• 결정성 스택 자동기(DPDA)의 동기화 가능성 문제의 계산 복잡도를 유한 자동기 이외의 범위로 확장하여 규명하는 것.
• 동기화 시 스택 내용이 비어 있음, 동일함, 또는 임의임과 같은 다양한 스택 의미 체계가 결정 가능성 및 복잡도에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 특히 유한 전환 또는 카운터 기반 모델과 같은 구조적 제약 조건을 가진 DPDA의 부분집합에서 동기화 가능성 문제가 결정 가능해지는 경우를 규명하는 것.
• 특히 스택 자동기 및 카운터 자동기에서 동기화 문제의 결정 가능성과 불가능성의 경계를 설정하는 것.
• 동기화 가능성과 이미 결정 가능한 문제들(예: 포함 관계가 결정 가능한 자동기 클래스, 예를 들어 NTS 언어) 간의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 일반적인 DPDA 및 관련 부분집합에서 동기화 가능성 문제의 결정 불가능성을 증명하기 위해 Post 대응 문제(PCP)로의 축소를 수행하는 것.
• PCP 인스턴스를 시뮬레이션하는 결정성 스택 자동기를 구성하는 것. 이 경우 동기화 단어가 존재하는 것은 PCP가 해를 가짐을 의미한다.
• 자동기 구성 방식을 순차적 변환기로 확장하여, 출력 시뮬레이션을 통한 추적 동기화 문제의 결정 불가능성을 증명하는 것.
• 스택 제약 조건(예: 동일한 스택 내용) 하에서 동기화 가능성 문제를 검증하기 위해 다항 시간 복잡도 알고리즘을 사용하여 제한된 클래스에서 PSPACE 소속을 보이는 것.
• 다양한 동기화 모델 하에서 스택 동작을 분석: 비어 있음, 동일함, 또는 임의의 스택 내용. 이는 복잡도가 스택 의미 체계와 거의 독립적임을 보여주는 것.
• 유한 자동기에서의 알려진 복잡도 결과(예: 짧은 동기화 단어 문제의 NP-완전성)를 활용하여 길이 제약 조건이 있는 변형의 복잡도를 근사하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정성 한 개 카운터 자동기에서 동기화 가능성 문제는 결정 가능한가?
• RQ2 결정성 한 번 전환 스택 자동기에서 동기화 가능성 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 유한 전환 및 유한 스택 크기 제약 조건을 동시에 적용할 경우 DPDA의 동기화 가능성 문제는 결정 가능한가?
• RQ4 스택 의미 체계(비어 있음, 동일함, 임의임)의 선택이 동기화의 결정 가능성 및 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 동기화 가능성의 결정 불가능성은 맹목적 또는 부분적으로 맹목적인 카운터 자동기와 같은 DPDA의 다른 부분집합으로까지 확장 가능한가?

주요 결과

• 일반적인 결정성 스택 자동기(DPDA)에 대해서는 동기화 가능성 문제가 결정 불가능하며, 이는 한 개 카운터 자동기 또는 한 번 전환 스택 자동기로 제한된 경우에도 마찬가지이다.
• 유한 전환 DPDA로 제약을 가할 경우 문제는 PSPACE-완전해지며, 이는 결정 가능하지만 계산적으로 어려운 문제임을 나타낸다.
• 부분적으로 맹목적인 결정성 카운터 자동기의 경우 동기화 가능성 문제가 결정 가능하며, 더 일반적인 모델과의 대비를 보여준다.
• 동기화 가능성 문제의 복잡도는 스택 의미 체계와 거의 독립적이다. 즉, 동기화 시 스택이 비어 있어야 하는지, 동일한 내용이어야 하는지, 또는 임의의 내용이어도 상관없는지에 따라 복잡도는 크게 달라지지 않는다.
• 순차적 변환기의 추적 동기화 문제는 결정 불가능하다. 이는 스택 동작을 출력 생성을 통해 시뮬레이션하는 PCP 기반의 축소를 통해 증명된다.
• 길이 제약 조건이 있는 DPDA의 동기화 문제 변형은 길이가 유니터리 표기법으로 주어지면 NP-완전하며, 이진 표기법으로 주어지면 EXPTIME에 속한다. 이는 길이 제약 조건 하에서 결정 불가능성에서 실행 가능성이로의 복잡도 감소를 보여준다.