[논문 리뷰] Syndrome decoding by quantum approximate optimization

Ching–Yi Lai, Kao-Yueh Kuo외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적 및 양자 오류 수정 부호에서 NP-난이도를 가지는 심호드 디코딩 문제를 해결하기 위해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 제안한다. 생성자 기반 및 체크 기반 비용 해밀토니안을 도입하여 QAOA가 주어진 심호드와 일치하는 낮은 무게의 오류로 향하도록 유도하며, 레벨-4 QAOA에서 [[5,1,3]] 및 [7,4,3] 부호에서 최대우도 성능에 근접한 성능을 보이며, 고소음 비율에서 고전적 디코딩을 뛰어넘는 성능 향상을 위한 내재된 디제너레이션 처리 기능을 제공한다.

ABSTRACT

The syndrome decoding problem is known to be NP-complete. The goal of the decoder is to find an error of low weight that corresponds to a given syndrome obtained from a parity-check matrix. We use the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to address the syndrome decoding problem with elegantly-designed reward Hamiltonians based on both generator and check matrices for classical and quantum codes. We evaluate the level-4 check-based QAOA decoding of the [7,4,3] Hamming code, as well as the level-4 generator-based QAOA decoding of the [[5,1,3]] quantum code. Remarkably, the simulation results demonstrate that the decoding performances match those of the maximum likelihood decoding. Moreover, we explore the possibility of enhancing QAOA by introducing additional redundant clauses to a combinatorial optimization problem while keeping the number of qubits unchanged. Finally, we study QAOA decoding of degenerate quantum codes. Typically, conventional decoders aim to find a unique error of minimum weight that matches a given syndrome. However, our observations reveal that QAOA has the intriguing ability to identify degenerate errors of comparable weight, providing multiple potential solutions that match the given syndrome with comparable probabilities. This is illustrated through simulations of the generator-based QAOA decoding of the [[9,1,3]] Shor code on specific error syndromes.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 알고리즘을 사용하여 고전적 및 양자 오류 수정 부호에서 NP-난이도를 가지는 심호드 디코딩 문제를 해결하기 위해.
• 생성자 행렬과 페어리티-체크 행렬 기반의 비용 해밀토니안을 설계하여 QAOA가 낮은 무게의 심호드 일치 오류로 유도되도록 하기 위해.
• 특정 부호, 예를 들어 [7,4,3] 해밍 부호 및 [[5,1,3]] 및 [[9,1,3]] 양자 부호에서 QAOA 디코딩 성능을 평가하기 위해.
• QAOA 디코딩이 양자 부호에서 다수의 서로 다른 오류가 동일한 논리적 영향을 가질 수 있는 디제너레이션을 자연스럽게 고려하는지 조사하기 위해.
• 제한된 거리 디코딩(BDD)과 같은 고전적 디코딩 방법과의 성능 비교를 통해 분포 유사성(제닝스-섀넌 발산을 통한 분석)을 분석하기 위해.

제안 방법

• 페어리티-체크 만족도와 오류 무게 최소화를 조합한 체크 기반 비용 해밀토니안을 제안하며, 두 항을 균형 잡기 위한 조정 가능한 매개변수를 포함한다.
• 브럭과 블라움의 에너지 함수에서 영감을 얻은 생성자 기반 비용 해밀토니안을 구성하며, 희박한 생성자 행렬을 가진 QAOA에 적합하다.
• 레벨-$p$ QAOA 회로를 적용하여 초기 균일 초위상 상태를 낮은 에너지 고유상태(유효한 오류 해답에 해당)로 진화시킨다.
• 하이브리드 양자-고전 최적화 루프를 사용하여 비용 해밀토니안의 기대값을 최적화함으로써 QAOA 매개변수 $\bm{\gamma}$ 및 $\bm{\beta}$를 고전적 최적화 방법으로 조정한다.
• 각 심호드에 대해 QAOA는 후보 오류의 분포를 출력하며, 심호드와 일치하는 가장 낮은 무게의 오류를 디코딩 출력으로 선택한다.
• 작은 부호에 대해 정확한 고전적 시뮬레이션을 통해 진짜 사후 분포와 QAOA 출력 분포 간의 유사도를 제닝스-섀넌 발산을 사용해 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수의 레이어(예: 레벨-4)를 가진 QAOA가 작은 고전적 및 양자 부호에서 최대우도 디코딩과 유사한 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ2 생성자 기반과 체크 기반 비용 해밀토니안의 선택이 QAOA 디코딩 성능과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 QAOA 디코딩이 양자 부호에서 다수의 서로 다른 파울리 오류가 동일한 논리적 영향을 가질 수 있는 디제너레이션을 자연스럽게 고려하는가?
• RQ4 디제너레이션 활용 덕분에 QAOA 디코더가 고소음 영역에서 고전적 제한된 거리 디코딩(BDD)을 뛰어넘을 수 있는가?
• RQ5 제닝스-섀넌 발산으로 측정했을 때, 심호드가 주어졌을 때의 QAOA 출력 분포가 진짜 사후 분포와 얼마나 유사한가?

주요 결과

• 레벨-4 QAOA를 사용한 [7,4,3] 해밍 부호의 디코딩은 최대우도 디코딩 성능과 일치한다.
• 레벨-4 생성자 기반 QAOA를 사용한 [[5,1,3]] 양자 부호의 디코딩 성능은 제한된 거리 디코딩(BDD)과 유사하며, 부패율이 약 0.3 이상일 경우 BDD보다 낮은 논리 오류율을 기록한다.
• QAOA 디코더는 내재된 디제너레이션을 가지며, 동일한 무게를 가진 디제너레이션(즉, 동일한 논리적 영향을 가짐) 오류들이 유사한 확률로 출력된다.
• [[5,1,3]] 부호에서 $\epsilon = 0.32$일 때, 진짜 사후 분포와 QAOA 출력 분포 간 제닝스-섀넌 발산은 0.06658이며, 높은 유사도를 보인다.
• $\epsilon = 0.38$일 때, $\hat{Y}_1$ 심호드에 대해 JS 발산은 0.1146으로 증가하여 약간의 정확도 저하가 나타나지만 여전히 합리적인 수준이다.
• 최적화 문제에 여분의 절차를 추가하면 큐비트 수를 늘리지 않아도 QAOA 성능을 향상시킬 수 있다.