[논문 리뷰] Syntactic Complexity of Star-Free Languages

Janusz Brzozowski, Baiyu Li|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 15.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 별도의 Kleene 별표를 사용하지 않고 합집합, 보수, 연결을 통해 정의될 수 있는 별표 없는 정규언어—즉, 별표 없는 정규언어의 문맥적 복잡도를 조사한다. 이는 '거의 단조' 자동차라는 부분집합을 도입하여 별표 없는 언어를 포괄하며, 이러한 자동차에 대한 문맥 복잡도의 날카운 상한선을 확립한다. 이 상한선은 $ n \geq 2 $ 인 모든 별표 없는 언어에 대해 일반적으로 적용된다고 추측한다.

ABSTRACT

The syntactic complexity of a regular language is the cardinality of its syntactic semigroup. The syntactic complexity of a subclass of regular languages is the maximal syntactic complexity of languages in that subclass, taken as a function of the state complexity of these languages. We study the syntactic complexity of star-free regular languages, that is, languages that can be constructed from finite languages using union, complement and concatenation. We find tight upper bounds on the syntactic complexity of languages accepted by monotonic and partially monotonic automata. We introduce "nearly monotonic" automata, which accept star-free languages, and find a tight upper bound on the syntactic complexity of languages accepted by such automata. We conjecture that this bound is also an upper bound on the syntactic complexity of star-free languages.

연구 동기 및 목표

• 주어진 몫 복잡도를 가진 언어에 대해 문맥 반군의 최대 크기인 별표 없는 정규언어의 문맥 복잡도를 결정하는 것.
• 문맥 복잡도가 제한될 수 있는 별표 없는 언어의 부분집합—단조, 부분 단조, 거의 단조 자동차—를 분석하는 것.
• 거의 단조 자동차의 상한선과 동일한 상한선이 모든 별표 없는 언어에 대해 적용된다고 추측하는 것.
• 작은 상태 복잡도에 대해 정확한 수세기와 GAP를 사용한 계산적 검증을 통해 이 추측에 대한 증거를 제공하는 것.
• 일반 정규언어의 $ n^n $ 상한선과는 대조적으로, 별표 없는 언어의 문맥 복잡도를 비교하는 것.

제안 방법

• 문맥 복잡도를 언어의 문맥 반군의 기수로 정의하며, 최소 DFA의 Myhill 동치관계와 전환 반군에서 유도한다.
• 거의 단조 자동차를 도입: 전환은 유일한 상태를 제외하고는 단조적이며, 이는 비주기적(카운터-프리) 행동을 통제적으로 분석할 수 있도록 한다.
• 충돌 없는 전환 분석을 통해 문맥 반군 내에서 유효한 비주기적 전환의 수를 제한하며, 특히 $ n = 3 $ 에서 그래프 이론적 제약 조건을 사용한다.
• GAP를 통한 계산적 수세기를 적용하여 작은 $ n $ 에서의 문맥 복잡도 상한선을 검증하며, 특히 $ n $ 개 상태에서의 $ \mathcal{T}_Q $ 전역 전환 반군의 비순열 부분반군을 대상으로 한다.
• 충돌 없는 입력 집합의 수와 순열이 없는 전환의 구조에 대한 조합적 추론을 통해 상한선을 유도한다.
• 단조($ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $), 부분 단조($ g(n-1) = |PM_{Q'}| $), 거의 단조($ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $)의 부분집합 간 상한선을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 몫 복잡도 $ n $ 을 가진 별표 없는 언어의 최대 문맥 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 일반 정규언어의 $ n^n $ 상한선보다 별표 없는 언어의 문맥 복잡도를 더 날카롭게 제한할 수 있는가?
• RQ3 거의 단조 자동차가 별표 없는 언어의 최악의 경우 문맥 복잡도를 포괄하는가?
• RQ4 별표 없는 언어의 문맥 복잡도가 $ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $ 으로 제한되는가, 여기서 $ PM_{Q'} $ 는 $ n-1 $ 개 상태에서의 부분 단조 전환 집합인가?
• RQ5 어떤 알파벳과 상태 수에서 이 추측된 상한선이 날카로운가, 그리고 다른 부분집합의 알려진 상한선과 비교해보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 별표 없는 언어의 문맥 복잡도는 일반 정규언어의 $ n^n $ 상한선보다 엄격히 작다.
• $ n = 3 $ 일 때, 어떤 별표 없는 언어의 문맥 복잡도도 최대 10이며, 이 상한선은 충돌 없는 전환의 철저한 수세기로 확인된 바, 날카로운 상한선이다.
• 이 논문은 거의 단조 자동차에 대해 $ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $ 의 날카로운 상한선을 확립하였으며, 이는 모든 별표 없는 언어에 대해 최대 문맥 복잡도로 추측된다.
• 이 상한선 $ h(n) $ 은 $ n = 2 $ 에서 $ n = 6 $ 까지의 알려진 값과 일치하며, $ n \leq 6 $ 에서 GAP 계산을 통해 날카로운 것으로 확인되었으며, $ h(6) = 1007 $ 이다.
• 상한선 $ h(n) $ 은 더 약한 상한선 $ (n+1)^{n-1} $ 보다 엄격히 작으며, $ n^n $ 보다도 크게 작아, 별표 없는 언어의 복잡도가 상당히 감소함을 시사한다.
• 단조, 부분 단조, 거의 단조의 경우에 각각 $ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $, $ g(n-1) = |PM_{Q'}| $, $ h(n) $ 이 날카로운 것으로 입증되었으며, $ h(n) $ 은 중심적인 추측된 상한선이다.