[논문 리뷰] Synthesis of anisotropic suboptimal controllers by convex optimization

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Control Systems and Identification인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 불확실성과 정확하게 알려지지 않은 외란 분포를 가진 이산시간 선형 시스템에 대해, 비대칭적 최적 및 γ-최적의 제어기를 합성하기 위한 볼록 최적화 기반 방법을 제안한다. 결정식 부등식과 역행렬 LMI를 사용하여 고정 순서 제어기 설계 문제를 재구성함으로써, 전체 정보 상태 피드백, 전순서 출력 피드백, 특정 정적 출력 피드백 케이스에 대해 볼록성을 확보하여, 동반 경로 알고리즘을 필요로 하지 않고도 효율적인 계산이 가능하며, H₂ 및 H∞ 성능 간 상충 관계를 균형 있게 조절할 수 있다.

ABSTRACT

This paper considers a disturbance attenuation problem for a linear discrete time invariant system under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in terms of relative entropy using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H-infinity norm. The designed anisotropic suboptimal controller generally is a dynamic fixed-order output-feedback compensator which is required to stabilize the closed-loop system and keep its anisotropic norm below a prescribed threshold value.

연구 동기 및 목표

• 정확하게 알려지지 않은 외란 분포를 가진 확률적 불확실성 하에서 H₂ 및 H∞ 제어기의 한계를 해결하기 위해.
• 통계적 불확실성에 대비한 강건성을 확보하기 위해, 사전에 정해진 임계값 이하로 비대칭 노름을 유지하는 부분최적 제어기 설계 프레임워크를 개발하기 위해.
• 복잡한 교차 결합 비선형 행렬 방정식을 풀 필요 없이, 고정 순서 제어기 합성을 볼록 최적화를 통해 가능하게 하기 위해.
• 비대칭 노름 제약 조건 외에도 추가 성능 사양을 도입할 수 있는 탄력적인 설계 절차를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비대칭 노름을 H∞ 노름의 확률적 대응으로 사용하여 외란 감쇠 문제를 정식화함으로써, 통계적 불확실성 하에서의 성능를 정량화한다.
• 양의 정부호 행렬에 대한 결정식 부등식과 두 개의 역행렬에 대한 선형 행렬 부등식(LMI)을 포함하는 일반적인 고정 순서 합성 절차를 도입한다.
• 특정 제어기 구조에 대해 표준 볼록화 기법을 적용하여, 비볼록 최적화 문제를 볼록 문제로 변환한다: 전체 정보 상태 피드백, 전순서 출력 피드백, 그리고 특정 시스템 구조 조건 하의 정적 출력 피드백.
• 결과적으로 유도된 볼록 최적화 문제를 해결하기 위해, 제약 조건 하에서 제곱 노름 임계값을 최소화함으로써 γ-최적 제어기를 도출한다.
• 특수한 동반 경로 유사 계산 방법이 필요 없이 표준 내점 알고리즘을 활용하여 효율적인 수치적 해를 도출한다.
• 항공기 모델(AC1)에 대한 시뮬레이션을 통해 접근법을 검증하였으며, 비대칭적, H₂, H∞ 제어기 간 성능 및 강건성 측면에서 비교 분석을 수행하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 순서 제어기를 위한 비대칭적 부분최적 제어기 합성 문제를 볼록 최적화 문제로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 확률적 불확실성 하에서 기존의 H₂ 및 H∞ 제어기 설계와 비교해 볼 때, 제안된 방법은 성능 및 계산 복잡도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 시스템 및 제어기의 어떤 구조적 조건 하에서 비볼록 고정 순서 합성 문제를 볼록화할 수 있는가?
• RQ4 비대칭 제어기는 H₂ 및 H∞ 성능 간 균형 잡힌 상충 관계를 어느 정도 달성하는가?
• RQ5 제안된 접근법은 교차 결합 리카티 방정식 또는 동반 경로 기반 알고리즘을 풀이하는 데 발생하는 계산 복잡도를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 비대칭 γ-최적 정적 출력 피드백 제어기는 H₂ 및 H∞ 대비 전진 속도, 치수 각도, 치수 속도 및 수직 속도의 최대 절대 편차가 가장 낮게 나타났다.
• H₂ γ-최적 제어기는 제어 출력에서 가장 나쁜 최대 절대 편차를 보였으며, 이는 관련 외란에 대한 민감도가 높음을 확인한다.
• 비대칭 제어기는 제어 신호의 최대 진폭이 가장 작게 나타나, 액추에이터 효율 향상과 마모 감소를 나타낸다.
• 최소 γ 값은 γ₂ < γₐ < γ∞ 를 만족하여, 제어기 유형 간 계층적 성능 순서가 확인되었다.
• 시뮬레이션 결과는 비대칭 제어기가 ‖TZW‖₀.₉ < γₐ 를 만족하며 부분최적 성능를 달성했으며, 기대한 바와 같이 H₂ 및 H∞ 제어기 역시 부분최적 성능를 보였다.
• 비대칭 제어기의 CPU 시간은 0.81초로, H∞ 제어기(3.04초)보다 유의미하게 빠르며, 계산 효율성을 입증했다.