[논문 리뷰] Synthesis of anisotropic suboptimal controllers via convex optimization

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 63인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 확률 분포가 불확실한 확률적 외란 하에서 이산시간 선형 시스템에 대해 축퇴된 최적화 기반의 이방성 하위최적 제어기 설계 방법을 제안한다. 상대 엔트로피와 이방성 노름을 사용하여 문제를 수식화함으로써, 고정된 차수의 동적 출력피드백 제어기를 가진 가족을 도출할 수 있으며, 이는 시스템을 안정화하고 외란 감쇠를 임계값 이하로 유지한다. 전체 정보, 전체 차수의 출력피드백, 정적 출력피드백의 경우 모두 볼록 해법이 가능하다.

ABSTRACT

This paper considers a disturbance attenuation problem for a linear discrete time invariant system under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in terms of relative entropy using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H∞ norm. The designed anisotropic suboptimal controller generally is a dynamic fixed-order outputfeedback compensator which is required to stabilize the closed-loop system and keep its anisotropic norm below a prescribed threshold value. Rather than resulting in a unique controller, the suboptimal design procedure yields a family of controllers thereby providing additional degrees of freedom to closed-loop design. The general fixed-order synthesis procedure implies solving a convex inequality on the determinant of a positive definite matrix and two linear matrix inequalities in inverse matrices which make the general optimization problem nonconvex. By applying the known standard convexification procedures it is shown that the resulting optimization problem is convex for the full-information statefeedback, output-feedback full-order controllers, and static output-feedback controller for specific classes of plants defined by certain structural properties. In the convex cases, the anisotropic -optimal controllers are obtained by minimizing the squared norm threshold value subject to convex constraints. In a sense, the anisotropic controller seems to offer a promising and flexible trade-off between H2 and H∞ controllers which are its limiting cases. In comparison with the state-space solution to anisotropic optimal controller synthesis problem presented before which results in a unique full-order estimator-based controller defined by a complex system of cross-coupled nonlinear matrix algebraic equations, the proposed optimization-based approach is novel and does not require developing specific homotopy-like computational algorithms.

연구 동기 및 목표

• 확률 분포가 정확히 알려지지 않은 랜덤 외란 하에서 이산시간 선형 시스템의 외란 감쇠 문제를 다루기 위해.
• 이방성 노름을 사용하여 시스템의 강건성을 측정하기 위해, H∞ 노름의 확률적 일반화를 제공한다.
• 닫힌 순환 시스템을 안정화하고 지정된 이방성 노름 임계값을 충족하는 고정 차수의 동적 출력피드백 제어기 가족을 설계하기 위해.
• 이전 상태공간 해법에서 사용되는 복잡한 호모토피 기반 알고리즘을 피하는 계산적으로 실현 가능한 방법을 개발하기 위해.
• 특정 제어기 구조에 대해 볼록 최적화 수식을 수립하여 하위최적 제어기를 효율적으로 계산할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 평균 이방성 기능을 통해 상대 엔트로피를 사용하여 통계적 불확실성을 모델링한다.
• 이방성 노름을 사용하여 외란 감쇠를 정의하며, 이는 H∞ 노름의 확률적 대응이다.
• 제어기 설계 문제를 양의 정부호 행렬의 행렬식에 대한 볼록 부등식과 두 개의 역행렬에 대한 선형 행렬 부등식으로 수식화한다.
• 특정 제어기 클래스에 대해 표준 볼록화 기법을 적용하여 비볼록 문제를 볼록 문제로 변환한다.
• 결과로 생긴 볼록 최적화 문제를, 볼록 제약 조건 하에 제곱 노름 임계값을 최소화함으로써 해결한다.
• 비선형 행렬 방정식을 풀 필요 없이 볼록 최적화를 통해 이방성 하위최적 제어기를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통계적 불확실성 하에서 하위최적 이방성 제어기 합성에 대한 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 이방성 노름은 분포가 정확히 알려지지 않은 노이즈 분포를 가진 시스템에서 외란 감쇠를 효과적으로 측정하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 비볼록 설계 문제를 볼록화할 수 있는 식물과 제어기의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ4 어떤 경우에 제안된 방법이 고유한 해가 아닌 제어기 가족을 도출하는가?
• RQ5 이전 상태공간 방법과 비교할 때, 제안된 방법은 계산적 및 구조적으로 어떻게 다른가? (특히 교차 연관 비선형 방정식 기반의 방법과 비교하여)

주요 결과

• 제안된 방법은 이방성 하위최적 제어기의 가족을 도출하여 고유해에 비해 설계의 유연성을 제공한다.
• 전체 정보, 전체 차수의 출력피드백, 특정 정적 출력피드백의 경우, 최적화 문제가 볼록이 되어 표준 볼록 최적화 기법으로 해결 가능하다.
• 이방성 제어기는 H2 및 H∞ 성능 간의 탄력적 트레이드오프를 제공하며, 이는 둘 다의 확률적 일반화로 간주될 수 있다.
• 이전 상태공간 해법에서 요구되는 호모토피 유사 알고리즘의 필요성을 피함으로써 계산을 단순화한다.
• 최적화는 볼록 제약 조건 하에 제곱 노름 임계값을 최소화하는 기반으로 이루어지며, 효율적인 수치적 구현이 가능하다.
• 특정 식물에 대한 구조적 가정 하에, 비볼록 문제의 구조에 표준 볼록화 절차를 적용함으로써 볼록성이 달성된다.