[논문 리뷰] Systemic Risk and Stochastic Games with Delay

René Carmona, Jean‐Pierre Fouque외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Banking stability, regulation, efficiency인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 은행 간 빌리기·빌려주기 시장에서의 체계적 리스크를 분석하기 위해 지연을 고려한 확률적 미분 게임 모델을 제안한다. 은행들은 과거의 빌리기/빌려주기 행동을 반영하는 지연된 제어를 통해 비용을 최소화한다. 앞으로-앞으로-뒤로 방향의 확률적 미분 방정식(FABSDEs)과 HJB 방정식을 사용하여 개방형 및 폐쇄형 나시 균형을 수립하며, 지연이 없는 모델에 비해 유동성이 감소하고 체계적 리스크가 증가함을 보여준다. 다만 중앙은행은 여전히 안정화 역할을 하는 정산 기관으로 기능한다.

ABSTRACT

We propose a model of inter-bank lending and borrowing which takes into account clearing debt obligations. The evolution of log-monetary reserves of $N$ banks is described by coupled diffusions driven by controls with delay in their drifts. Banks are minimizing their finite-horizon objective functions which take into account a quadratic cost for lending or borrowing and a linear incentive to borrow if the reserve is low or lend if the reserve is high relative to the average capitalization of the system. As such, our problem is an $N$-player linear-quadratic stochastic differential game with delay. An open-loop Nash equilibrium is obtained using a system of fully coupled forward and advanced backward stochastic differential equations. We then describe how the delay affects liquidity and systemic risk characterized by a large number of defaults. We also derive a close-loop Nash equilibrium using an HJB approach.

연구 동기 및 목표

• 실제 상환 의무를 반영하기 위해 지연된 제어를 포함한 은행 간 빌리기·빌려주기 모델링을 목적으로 한다.
• 지연이 N개의 은행을 포함한 금융 시스템에서 체계적 리스크와 유동성에 어떤 영향을 미치는지 분석하는 것을 목적으로 한다.
• 지연이 있는 확률적 미분 게임 설정에서 개방형 및 폐쇄형 나시 균형을 도출하는 것을 목적으로 한다.
• 은행들이 빌리기/빌려주기 활동에 대해 상환 지연을 겪을 경우에도 중앙은행이 여전히 안정화 역할을 하는 정산 기관으로 기능하는지 조사하는 것을 목적으로 한다.
• 기존 모델을 선형-제곱형 확률적 게임 프레임워크에 시간 지연된 제어를 통합하여 확장하는 것을 목적으로 한다.

제안 방법

• 현재 및 과거의 제어에 따라 변하는 드리프트를 갖는 연관된 지연된 확률적 미분 방정식을 사용하여 N개 은행의 로그 통화 보유량을 모델링한다.
• 은행들이 빌리기/빌려주기 비용을 최소화하고 시스템 평균 자본화 수준과 일치하도록 유도하는 선형-제곱형 목적 함수를 사용한다.
• 완전히 결합된 앞으로-뒤로 방향의 확률적 미분 방정식(FABSDEs) 시스템을 통해 개방형 나시 균형을 도출한다.
• 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식 접근법을 적용하여 폐쇄형 나시 균형을 유도하며, 유효성 검증 정리를 제시한다.
• 지연이 상태 및 제어에 모두 영향을 주는 상황을 다루기 위해, 확률적 제어 기법, 특히 확률적 최대원리와 무한차원 HJB 방정식을 활용한다.
• 수렴성과 해의 유일성을 증명하기 위해 그론발의 부등식, 이토의 공식, 코시-슈바르츠 및 젠센의 부등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 변수에 지연을 도입할 경우 은행 간 빌리기·빌려주기 시스템에서 체계적 리스크와 유동성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 지연된 제어를 포함한 확률적 미분 게임에서 개방형 나시 균형의 구조는 어떠한가?
• RQ3 HJB 접근법을 사용하여 이 지연된 확률적 게임에 대해 폐쇄형 나시 균형을 도출할 수 있는가?
• RQ4 은행들이 빌리기/빌려주기 활동에 대해 상환 지연을 겪을 경우에도 중앙은행은 여전히 안정화 역할을 하는 정산 기관으로 기능하는가?
• RQ5 카르모나 등(2015)의 지연 없음 모델에 비해 지연의 존재가 균형 역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 지연된 제어를 포함함으로써, 과거 행동에 대한 상환 의무로 인해 지연이 없는 경우에 비해 전체 시스템의 유동성이 감소한다.
• 유동성 감소에도 불구하고 중앙은행은 여전히 정산 기관으로서 기능하여 불균형을 흡수함으로써 시스템을 안정화시킨다.
• 개방형 나시 균형이 존재하며, 이는 완전히 결합된 앞으로-앞으로-뒤로 방향의 확률적 미분 방정식(FABSDEs) 시스템으로 특징지어진다.
• HJB 방정식 접근법을 통해 폐쇄형 나시 균형이 도출되었으며, 유효성 검증 정리를 통해 그 타당성이 확인되었다.
• 그론발의 부등식과 상태, 쌍대 변수, 제어 과정의 유계성에 기반한 수축 사상 원리에 의해 해의 유일성이 확립되었다.
• 모델은 지연이 극단적 리스크를 완화하는 안정화 피드백 메커니즘을 도입하지만, 그 대가로 유동성이 감소함을 보여준다.