[논문 리뷰] Systems and Categories

Juan Pablo Ramírez|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 11.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 물체와 관계로 정의된 시스템을 바탕으로 수학의 기초 프레임워크를 제안하며, 구조, 대칭성, 유산의 개념을 통해 범주론, 집합론, 대수적 구조를 통합한다. 정수와 유리수는 공리적으로 구성되며, 케일리의 정리에 의해 자동형사상군과 함의적 동형이 성립한다. 또한 위상계열은 기저에 의해 완전히 결정되며, 폐쇄와 열린 집합의 구성 방식이 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

The attempt is to give a formal concpet of system, and with this provide a definition of category, that will also satisfy the definition of a system. An axiomatic base is given, for constructing the group of integers. In the process, we define a group of automorphisms; we are defining an ordered group of functors with a natural transformation between any two. We give an isomorphism from the group of integers into the group of automorphisms, as guaranteed by Cayley's Theorem. The ultimate aim is to use these definitions and concepts, of system and category, to give a general description of mathematics. The third chapter is dedicated to set theory and we provide a proof of the Yoneda Lemma. This is used to prove Cayley's theorem. We see how this relates to the construction of the integers, before introducing representable functors. After lattices, we devote a chapter to group theory. We conlcude with a brief description of topological systems; we describe them as functors on algebraic categories, with a subset of invariant objects. This new version includes a first description of linear spaces. The section for operations has been rewritten and corrected.

연구 동기 및 목표

• 물체와 관계로 정의된 시스템을 바탕으로 수학의 통합적 개념적 프레임워크를 개발하는 것.
• 구조, 대칭성, 유산의 원칙을 수학적 시스템의 보편적 구성 요소로 체계화하는 것.
• 범주론—특히 함자와 자연변환—이 수학적 시스템의 유산과 시스템 형성 방식을 어떻게 모델링할 수 있는지 보여주는 것.
• 정수와 유리수를 체계론적 관점에서 공리적으로 구성하여, 케일리의 정리에 의해 자동형사상군과의 동형성을 보여주는 것.
• 위상계열이 기저에 의해 완전히 결정되며, 폐쇄와 열린 집합의 구성 방식이 동치임을 증명하는 것.

제안 방법

• 물체와 관계의 집합으로 시스템을 정의하고, 구조, 대칭성, 유산을 핵심 원칙으로 삼는다.
• 도메인, 공도메인, 항등원, 합성 연산을 갖춘 메타범주를 사용하여 화살표와 범주를 체계화한다.
• 기본 물체에 대한 거듭제곱 연산을 통해 정수를 구성하고, 자동형사상군과의 군 동형성을 이끌어낸다.
• 곱, 역순서, 치환을 통해 유리수 시스템을 정의하고, 덧셈과 곱셈 연산을 포함한다.
• 기저를 통해 위상계열을 표현하고, 기저 원소를 바탕으로 폐쇄 연산을 정의한다.
• 기저로부터 유도된 폐쇄 함자가 열린 집합에 의해 정의된 폐쇄와 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학적 시스템은 오직 물체와 관계만을 사용해 어떻게 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 기존 시스템으로부터 새로운 시스템을 형성하는 데 기초가 되는 보편적 원리—구조, 대칭성, 유산—는 무엇인가?
• RQ3 범주론, 함자, 자연변환은 수학적 시스템의 유산을 어느 정도 모델링할 수 있는가?
• RQ4 정수와 유리수는 체계론적 관점에서 어떻게 공리적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 위상계열은 기저에 의해 완전히 결정되는가? 폐쇄와 열린 집합의 구성은 동치인가?

주요 결과

• 시스템은 물체와 관계의 집합으로 체계적으로 정의되며, 구조, 대칭성, 유산이 핵심 원칙으로 작용한다.
• 정수의 구성은 기본 물체에 대한 거듭제곱 연산을 통해 이루어지며, 케일리의 정리에 의해 자동형사상군과의 군 동형성이 보장된다.
• 유리수 시스템은 역순서, 치환, 덧셈과 곱셈 연산을 통해 정의되며, 대수적 닫힘을 보장한다.
• 위상계열의 기저는 열린 집합과 폐쇄 연산을 유일하게 결정하며, 기저로부터 유도된 폐쇄와 열린 집합에 기반한 폐쇄가 동치임을 입증한다.
• 기저를 통해 정의된 폐쇄 함자는 표준 폐쇄 연산과 함의적 동형이며, 이는 위상계열이 기저에 의해 완전히 결정됨을 증명한다.
• 이 프레임워크는 집합론, 범주론, 대수적 시스템을 하나의 체계론적 기초 아래 통합적으로 성공적으로 통합한다.