[논문 리뷰] Szeg\H{o}-Weinberger type inequalities for symmetric domains with holes

T. V. Anoop, Vladimir Bobkov외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 11.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 30인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 중심 대칭 또는 순서-2 대칭인 영역에 대해 Szegő-Weinberger 부등식을 구멍이 있는 대칭 영역으로 확장한다. 중심 대칭 또는 순서-2 대칭인 영역에 대해 첫 번째 양의 뉴먼 고유값은 동일한 면적을 가진 동심 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 에서 최대화됨을 증명한다. 더 높은 고유값에 대해서는 순서-4 또는 순서-8 대칭 조건 하에서, $i = 3, \dots, N+2$ (또는 $N=2$ 일 때 $i=5$) 에서도 동일한 원환영역이 $\mu_i$ 를 최대화함을 보인다. 또한 원환영역에서 $\mu_{N+2}$ 의 비원형 고유함수를 증명하였다.

ABSTRACT

Let $\mu_2(\Omega)$ be the first positive eigenvalue of the Neumann Laplacian in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^N$. It was proved by Szeg\H{o} for $N=2$ and by Weinberger for $N \geq 2$ that among all equimeasurable domains $\mu_2(\Omega)$ attains its global maximum if $\Omega$ is a ball. In the present work, we develop the approach of Weinberger in two directions. Firstly, we refine the Szeg\H{o}-Weinberger result for a class of domains of the form $\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}$ which are either centrally symmetric or symmetric of order $2$ (with respect to every coordinate plane $(x_i,x_j)$) by showing that $\mu_{2}(\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}})\leq\mu_2(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$, where $B_\alpha, B_\beta$ are balls centered at the origin such that $B_\alpha\subset\Omega_{ ext{in}}$ and $|\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}|=|B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha|$. Secondly, we provide Szeg\H{o}-Weinberger type inequalities for higher eigenvalues by imposing additional symmetry assumptions on the domain. Namely, if $\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}$ is symmetric of order $4$, then we prove $\mu_{i}(\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}})\leq\mu_i(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$ for $i=3,\dots,N+2$, where we also allow $\Omega_{ ext{in}}$ and $B_\alpha$ to be empty. If $N=2$ and the domain is symmetric of order $8$, then the latter inequality persists for $i=5$. Counterexamples to the obtained inequalities for domains outside of the considered symmetry classes are given. The existence and properties of nonradial domains with required symmetries in higher dimensions are discussed. As an auxiliary result, we obtain the non-radiality of the eigenfunctions associated to $\mu_{N+2}(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$.

연구 동기 및 목표

• 등면적 영역들 중에서 첫 번째 양의 뉴먼 고유값 $\mu_2(\Omega)$ 가 구에 의해 최대화된다는 고전적 Szegő-Weinberger 부등식을, 구멍이 있는 영역으로 일반화하는 것.
• 더 강력한 대칭 조건 하에서 이러한 고유값 최대화가 더 높은 고유값 $\mu_i$ 로까지 확장되는지 조사하는 것.
• 중앙 대칭, 순서-2, 순서-4 또는 순서-8 대칭과 같은 특정 대칭 클래스에서 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 가 $\mu_i$ 의 최대화자임을 확립하는 것.
• 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 에 대응하는 $\mu_{N+2}$ 의 고유함수가 비원형임을 증명하는 데 초점 맞추기 — 이는 핵심 보조 결과이다.
• 대칭 조건이 없을 경우 부등식이 성립하지 않음을 보여주는 반례를 제시하여 대칭 조건의 필수성을 입증하는 것.

제안 방법

• 구멍이 있는 영역에 대해 Weinberger의 대칭 감소 재배열 및 고유값의 변분 특성화 방법을 응용한다.
• 구면 조화다항식 전개를 사용하고 대칭성을 활용하여 뉴먼 고유값 문제를 정수직 부분공간으로 분해한다.
• $\mathbb{R}^N$ 에서의 순서 $q$ 대칭의 개념을 도입하며, 이를 좌표 평면에서의 회전 대칭성으로 정의하고 원환영역에 적용한다.
• 가중치 $L^2$ 내적과 동차 조화다항식 공간($Z_1, Z_2, Z_3$) 위로의 정사영을 사용하여 변분 문제를 분리한다.
• 대칭 조건 하에서 내적 $\int_\Omega g(r) p(x) q(x) \, dx$ 와 딜리클레 형식 $\int_\Omega \nabla(g(r)p) \cdot \nabla(g(r)q) \, dx$ 에 대한 명시적 적분 항등식을 유도한다.
• 고유함수를 $Z_3$ 에서 정규직교화하여 $\tilde{Z}_3$ 를 정의하고, 대칭성을 유지하면서 날카운 고유값 경계를 도출할 수 있는 시험함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙 대칭 또는 순서-2 대칭 조건 하에서, 구멍이 있는 영역에 대해 Szegő-Weinberger 부등식 $\mu_2(\Omega) \leq \mu_2(B)$ 가 성립하는가?
• RQ2 영역 $\Omega$ 가 순서-4 또는 순서-8 대칭일 경우, $i \geq 3$ 에 대해 뉴먼 고유값 $\mu_i(\Omega)$ 가 $\mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ 보다 크거나 같게 bound 될 수 있는가?
• RQ3 고유값 $\mu_i$ 가 $i > 2$ 일 때 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 가 최대화하는 데 있어 대칭의 역할은 무엇인가?
• RQ4 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 의 $\mu_{N+2}(B_\beta \setminus B_\alpha)$ 에 대응하는 고유함수는 비원형이며, 이는 부등식의 날카로움과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 부등식은 특정 대칭 클래스에서만 날카로운가? 이러한 대칭성이 깨지면 어떤 일이 발생하는가?

주요 결과

• 모든 유계 영역 $\Omega = \Omega_{\text{out}} \setminus \Omega_{\text{in}}$ 에 대해 중심 대칭 또는 순서-2 대칭이면, $\mu_2(\Omega) \leq \mu_2(B_\beta \setminus B_\alpha)$ 를 만족하며, 여기서 $B_\alpha \subset \Omega_{\text{in}}$ 이고 $|\Omega| = |B_\beta \setminus B_\alpha|$ 이다.
• 영역 $\Omega$ 가 순서-4 대칭이고 $N \geq 3$ 이면, 모든 $i = 3, \dots, N+2$ 에 대해 $\mu_i(\Omega) \leq \mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ 를 만족하며, $\Omega_{\text{in}} = \emptyset$ 인 경우도 포함된다.
• 평면 영역($N=2$) 에서, 영역 $\Omega$ 가 순서-8 대칭이면 $i = 3, \dots, 5$ 에 대해 $\mu_i(\Omega) \leq \mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ 를 만족한다.
• 원환영역 $B_\beta \setminus B_\alpha$ 의 $\mu_{N+2}$ 에 대응하는 고유함수는 비원형이며, 정규직교 분해와 대칭성 논증을 통해 증명되었다.
• 지정된 대칭 클래스 외의 영역에 대해 반례를 구성하여 부등식이 성립하지 않음을 입증함으로써, 대칭 조건의 필수성을 확인하였다.
• 논문은 첫 번째 양의 뉴먼 고유값 $\mu_2$ 가 중심 대칭 또는 순서-2 대칭 조건 하에서 등면적 영역들 중에서 원환영역에 의해 최대화됨을 증명하였으며, 이는 고전 결과를 다중 연결 영역으로 확장한 것이다.