[논문 리뷰] Szegö kernel asymptotics and Morse inequalities on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Xiaoshan Li|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 횡방향 $S^1$ 작용을 갖는 CR 다양체에 대해 약한 및 강한 모어스 부등식을 수립하며, 강체 CR 선다발 $L^k$ 값의 $(0,q)$-형식 위에 정의된 부분 슈체 핵심의 점근적 추정을 도출한다. 레비 형식에 대한 가정 없이도, $L$의 곡률이 양성 조건을 만족할 경우 $L$가 크다고 증명하며, 이는 기존의 그라우에르트-레멘슈나이더 기준을 CR 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected CR manifold of dimension $2n-1, n\geq 2$. We assume that there is a transversal CR locally free $S^1$ action on $X$. Let $L^k$ be the $k$-th power of a rigid CR line bundle $L$ over $X$. Without any assumption on the Levi-form of $X$, we obtain a scaling upper-bound for the partial Szegő kernel on $(0,q)$-forms with values in $L^k$. After integration, this gives the weak Morse inequalities. By a refined spectral analysis, we also obtain the strong Morse inequalities in CR setting. We apply the strong Morse inequalities to show that the Grauert-Riemenschneider criterion is also true in the CR setting.

연구 동기 및 목표

• 횡방향 $S^1$ 작용을 갖는 CR 다양체에 대해 약한 및 강한 모어스 부등식을 수립하며, 데메르리의 해석적 모어스 부등식을 CR 설정으로 확장한다.
• 강체 CR 선다발 $L$의 $k$제곱인 $L^k$ 값의 $(0,q)$-형식 위에 정의된 부분 슈체 핵심의 점근적 추정을 도출한다.
• CR 설정에서 그라우에르트-레멘슈neider 기준을 증명하며, $L$의 곡률이 양성 조건을 만족할 경우 $L$가 크다는 것을 보인다.
• 기존 연구에서 일반적으로 요구되는 레비 형식과 $L$의 곡률 간의 연관성에 대한 가정을 제거한다.
• $Y(0)$ 및 $Y(1)$ 조건에 의존하지 않고 CR 임bedding과 $H^0_b(X, L^k)$의 성장률을 연구할 수 있는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 지역 좌표계에서 대각선 근처의 슈체 핵심 점근적 성질을 분석하기 위해 스케일링 기법을 사용한다.
• 헤이젠베르크 군 모델을 적용하여 슈체 핵심의 국소적 행동을 연구하고 일관된 추정을 도출한다.
• 코ーン 라플라스에 대한 정교한 스펙트럼 분석을 통해 부분 슈체 핵심 함수 $\Pi_{\leq k\delta}^q$의 날카운 상계를 확보한다.
• 핵심 추정을 통합하여 약한 모어스 부등식을 도출한 후, 이를 정교화하여 강한 모어스 부등식을 확보한다.
• S^1 작용과 CR 구조에 적합한 표준 국소 좌표계를 활용하여 분석을 단순화한다.
• S^1-불변성을 활용하여 문제를 몫 공간 위의 유한차원 스펙트럼 분석으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 형식에 대한 가정 없이도 $S^1$ 작용을 갖는 CR 다양체에 대해 모어스 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 강체 CR 선다발 $L$의 곡률이 어떤 조건을 만족할 경우 $L^k$가 크다고 할 수 있는가, 즉 $\dim H^0_b(X, L^k) \gtrsim k^n$ 이 성립하는가?
• RQ3 그라우에르트-레멘슈neider 기준은 레비 형식의 부호와 무관하게 CR 설정에서도 유효한가?
• RQ4 Y(0) 및 Y(1) 조건이 없을 경우에도 부분 슈체 핵심을 스케일링 기법을 통해 점근적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 CR 설정에서 $L$의 곡률과 $H^0_b(X, L^k)$의 성장률 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 레비 형식에 대한 어떤 가정도 없이, $(0,q)$-형식에 값이 있는 부분 슈체 핵심 $\Pi_{\leq k\delta}^q$에 대한 스케일링 상계가 확립된다.
• 핵심 추정을 통합하면 $S^1$ 작용을 갖는 CR 다양체에 대해 약한 모어스 부등식이 도출된다.
• 정교한 스펙트럼 분석을 통해, $Y(0)$ 및 $Y(1)$ 조건 없이도 CR 설정에서 강한 모어스 부등식을 확보할 수 있다.
• 그라우에르트-레멘슈neider 기준은 CR 설정에서도 성립한다: 만약 곡률 $\mathcal{R}^L$ 이 해석적 접선 공간 위에서 정의된 양성 정의이면, $L$는 크다.
• 복소 헤이젠베르크 군 $\mathscr{C}H_n$의 예에서, 행렬 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ 이 양성 정의이면 $L$는 크다.
• 복소 토러스 위의 해석적 선다발에 대해, 행렬 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ 이 양성 정의이면 관련된 CR 다양체 $X$ 위에서의 끌어올림 선다발 $\pi^*L_\mu$는 크다.