[논문 리뷰] Szegedy Walk Unitaries for Quantum Maps

Paweł Wocjan, Kristan Temme|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 슈에지디의 고전적 랜덤 워크의 양자화를 양자 맵, 특히 세부 균형 임브리언스 빈델란디안과 양자 채널로 일반화하는 양자 알고리즘을 제시한다. 빈델란디안의 스펙트럼 갭에 비해 고유위상 갭이 제곱적으로 증폭된 워크 유니터리(unitary)를 구성함으로써, 이 방법은 개방 양자 시스템 시뮬레이션에서 양자 속도 향상을 가능하게 하며, 블록 인코딩과 에너지 추정 기법을 통해 효율적인 구현이 가능하다.

ABSTRACT

Szegedy developed a generic method for quantizing classical algorithms based on random walks [Proceedings of FOCS, 2004, pp. 32-41]. A major contribution of his work was the construction of a walk unitary for any reversible random walk. Such unitary posses two crucial properties: its eigenvector with eigenphase $0$ is a quantum sample of the limiting distribution of the random walk and its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the random walk. It was an open question if it is possible to generalize Szegedy's quantization method for stochastic maps to quantum maps. We answer this in the affirmative by presenting an explicit construction of a Szegedy walk unitary for detailed balanced Lindbladians -- generators of quantum Markov semigroups -- and detailed balanced quantum channels. We prove that our Szegedy walk unitary has a purification of the fixed point of the Lindbladian as eigenvector with eigenphase $0$ and that its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the Lindbladian. To construct the walk unitary we leverage a canonical form for detailed balanced Lindbladians showing that they are structurally related to Davies generators. We also explain how the quantization method for Lindbladians can be applied to quantum channels. We give an efficient quantum algorithm for quantizing Davies generators that describe many important open-system dynamics, for instance, the relaxation of a quantum system coupled to a bath. Our algorithm extends known techniques for simulating quantum systems on a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 고전적 가역 마르코프 체인에서 슈에지디의 양자화 프레임워크를 양자 맵, 특히 세부 균형 임브리언스 빈델란디안과 양자 채널으로 확장하기.
• 고유위상 0을 가진 고유벡터가 양자 맵의 固定점 상태의 풍부화(purification)인 워크 유니터리(unitary)를 구성하기.
• 빈델란디안의 스펙트럼 갭에 비해 고유위상 갭을 제곱적으로 증폭함으로써, 개방계 역학 시뮬레이션에서 양자 속도 향상을 달성하기.
• 일반적으로 개방 양자 시스템에서 사용되는 다비스 생성자(Davies generators)를 블록 인코딩과 에너지 추정을 사용하여 효율적인 양자 알고리즘으로 양자화하기.

제안 방법

• 세부 균형 임브리언스 빈델란디안에 대한 표준형을 활용하여, 이들이 다비스 생성자와 구조적으로 동일함을 보여준다.
• 고정점 σ에 대한 유사성 변환을 통해 양자 분류기 Q를 도입하며, 이는 σ에 독립적이고 세부 균형의 다양한 표현 방식에 대해 불변이다.
• 고유위상 0을 가진 고유상태가 고정점 σ의 풍부화 |σ^{1/2}}⟩ = (σ^{1/2} ⊗ I)|Ω⟩ 인 워크 유니터리 W(L)를 구성한다.
• 블록 인코딩 기법을 사용하여 워크 유니터리를 효율적으로 구현하며, 제어 연산과 위상 추정을 통해 해밀토니안의 보르 주파수를 인코딩한다.
• 필터 회전과 제어된 순환 이동을 적용하여 부분 등급사상(sub-isometries) T0와 T1을 일관적으로 실현하고, 이를 조합하여 워크 유니터리의 전체 등급사상 T를 구성한다.
• 반사 기반의 결합 연산자를 사용하여 일반적인 세부 균형 임브리언스 빈델란디안을 더 큰 힐베르트 공간에 통합함으로써, 다비스 생성자 경우로의 양자화를 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈에지디의 고전적 랜덤 워크에 대한 양자화 방법을 빈델란디안과 양자 채널에 의해 지배되는 양자 마르코프 과정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 세부 균형 임브리언스 빈델란디안의 구조는 무엇이며, 이를 양자화에 적합한 형태로 체계적으로 변환할 수 있는가?
• RQ3 고유위상 0을 가진 고유상태가 양자 맵의 고정점의 풍부화와 대응하는 워크 유니터리를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 클래식 사례와 유사하게, 워크 유니터리의 고유위상 갭이 빈델란디안의 스펙트럼 갭에 비해 제곱적으로 증폭될 수 있는가?
• RQ5 특히 열적 고정점이 알려진 다비스 생성자에 대해, 이러한 워크 유니터리를 효율적으로 실현하는 양자 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 워크 유니터리 W(L)는 세부 균형 임브리언스 빈델란디안 L의 고정점 σ의 풍부화 |σ^{1/2}}⟩인 고유위상 0을 가진 고유벡터를 갖는다.
• W(L)의 고유위상 갭은 L의 스펙트럼 갭보다 제곱적으로 더 크며, 이는 고전적 슈에지디 워크와 유사한 양자 속도 향상을 가능하게 한다.
• 빈델란디안을 유사성 변환을 통해 도출된 양자 분류기 Q는 고정점 σ에 독립적이며, 세부 균형의 다양한 표현 방식에서도 동일한 구조를 유지한다.
• 이 방법은 일반적인 세부 균형 임브리언스 빈델란디안의 양자화를 다비스 생성자 경우로 감소시키며, 이는 블록 인코딩과 에너지 추정을 통해 효율적으로 양자화 가능하다.
• 열 기브스 고정점을 가진 다비스 생성자에 대해 효율적인 양자 알고리즘을 구성하였으며, 해밀토니안 에너지가 라운딩 조건을 만족하고 에너지 추정을 통해 해상될 수 있는 경우에 해당한다.
• 전체 워크 유니터리는 필터 함수와 위상 추정을 사용하여 부분 등급사상 T0와 T1을 조합한 제어 등급사상 T를 통해 실현되며, 최종 반사 R은 확장된 보르 주파수에 대한 일관된 초위상 중첩을 가능하게 한다.