[논문 리뷰] Szego\H o-Widom asymptotics of Chebyshev Polynomials on Circular Arcs

Benjamin Eichinger|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 25.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 원호 $A_\alpha$ 위에서 체비셰프 다항식과 균일하게 유계인 다항식의 상한을 다루며, 복소 그린 함수와 동형사상 $λ(u)$를 통해 명시적인 점별 극한을 도출한다. 주요 결과는 정규화된 상한이 상반평면 위의 재생핵의 대각선으로 수렴함을 보이며, 근사 이론과 힐버트 공간의 구조를 연결한다.

ABSTRACT

Thiran and Detaille give an explicit formula for the asymptotics of the sup-norm of the Chebyshev polynomials on a circular arc. We give the so-called $ extrm{Szeg\H o}$-Widom asymptotics for this domain, i.e., explicit expressions for the asymptotics of the corresponding extremal polynomials. Moreover, we solve a similar problem with respect to the upper envelope of a family of polynomials uniformly bounded on this arc. That is, we give explicit formulas for the asymptotics of the error of approximation as well as of the extremal functions. Our computations show that in the proper normalization the limit of the upper envelope represents the diagonal of a reproducing kernel of a certain Hilbert space of analytic functions. Due to Garabedian the analytic capacity in an arbitrary domain is the diagonal of the corresponding $ extrm{Szeg\H o}$ kernel. We don't know any result of this kind with respect to upper envelopes of polynomials. If this is a general fact or a specific property of the given domain, we rise as an open question.

연구 동기 및 목표

• 비구간 컴act 집합인 원호로 셰츠-위도 asymptotics를 확장하여, 고전적 결과가 적용되지 않는 경우를 다루기 위해.
• 다항식의 최고차항 계수나 점 평가를 최대화하는 극값 다항식에 대해 명시적인 渐近 공식을 유도하기 위해.
• 다항식이 $A_\alpha$ 위에서 1로 유계일 때의 상한 $L_n(u)$의 점근적 행동을 특성화하기 위해.
• 상한의 극한이 재생핵의 대각선과 일치하는지 탐색하며, 가라바디안의 해석적 용량 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 극값 다항식을 정규화하고 그 극한을 분석하기 위해 복소 그린 함수 $b_{\Omega_\alpha}(z,\infty)$의 사용.
• 집합 $\Omega_\alpha$ 를 분야 $\Pi$ 로 변환하기 위한 동형사상 $\lambda(u) = \left(\frac{ue^{i\alpha}-1}{u-e^{i\alpha}}\right)^{1/4}$.
• $n \to \infty$ 일 때 $b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ 의 극한 함수를 $h(\lambda,\lambda_0)$ 와 $\lambda$ 의 유리함수로 표현하는 유도.
• 상한 $L_n(u)$ 를 $e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ 로 식별하며, 여기서 $k_{\Omega_\alpha}$ 는 $\Pi$ 위의 재생핵이다.
• 해석 함수의 성질과 최대원리에 기반하여 $L_n(u)$ 와 $L(u)$ 의 로그 하모닉성 증명.
• 고정된 극이 $\mathbb{D}$ 밖에 있는 유리함수에 대해 결과를 확장하며, $B(u)^n = \prod_k b_{\Omega_\alpha}(u,c_k)^n$ 의 그린 함수의 곱을 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원호 위에서 유계인 다항식의 상한이 해석 함수의 힐버트 공간 내 재생핵의 대각선으로 수렴하는가?
• RQ2 비구간 컴act 집합인 원호와 같이 고전적 결과가 적용되지 않는 경우에 셰츠-위도 渐近 분석을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 주어진 점 $u_0 \in \Omega_\alpha$ 에 대해 극값 다항식의 점근적 행동은 어떻게 되며, 그 극한 형태는 무엇인가?
• RQ4 고정된 극을 가진 유리함수와 같은 다양한 함수 클래스에서 정규화된 상한의 극한은 일반적인가?

주요 결과

• n \to \infty 일 때 $b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ 의 극한은 $\lambda(u)$, $\lambda_0$, $h(\lambda,\lambda_0)$ 를 포함한 유리함수로 명시적으로 주어진다.
• 상한 $L_n(u)$ 는 $L_n(u) \sim e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ 를 만족하며, 여기서 $k_{\Omega_\alpha}(u,u_0) = \frac{2\lambda\overline{\lambda}_0}{(\lambda + \overline{\lambda}_0)^2}$ 이다.
• 점 $u_0$ 에서의 극한 함수는 $L(u_0) = k_{\mathbb{H}_+}(\lambda_0, \lambda_0)$ 를 만족하며, 재생핵의 대각선 성질을 확인한다.
• 상한 $L_n(u)$ 는 $\Omega_\alpha$ 위에서 로그 하모닉이며, 그 로그는 최대원리와 그린 함수의 수렴성에 기반하여 하모닉하다.
• 고정된 극 $C = \{c_1, \dots, c_g\}$ 가 $\mathbb{D}$ 밖에 있을 때 결과는 유리함수로 확장되며, 극한은 $B(u)^n = \prod_k b_{\Omega_\alpha}(u,c_k)^n$ 으로 표현된다.
• 유리함수의 정규화된 상한의 극한은 $M_n(u) \sim e^{n \sum_k g_{\Omega_\alpha}(u,c_k)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ 를 만족하며, 이는 일반적인 구조를 시사한다.