[논문 리뷰] T-duality, Gerbes and Loop Spaces

Dmitriy Belov, C.M. Hull외 1명|ArXiv.org|2007. 10. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 줄 이론에서 T-duality를 기저로 하는 기하학적 해석을 gerbe와 루프 공간 기하학을 통해 재수립하며, 원환면 대칭이 해밀토니안일 때 T-duality가 기하학적으로 실현됨을 보여준다. 이는 이중 원환면 피브레이션의 루프 공간의 코탄제인트 벡터장에 대해 심플렉틱 구조를 구성함으로써 드러나며, T-duality는 원환면 대칭이 해밀토니안일 때에만 대칭으로 나타나며, 비해밀토니안 대칭과 관련된 장애가 존재한다.

ABSTRACT

We revisit sigma models on target spaces given by a principal torus fibration $X o M$, and show how treating the 2-form B as a gerbe connection captures the gauging obstructions and the global constraints on the T-duality. We show that a gerbe connection on X, which is invariant with respect to the torus action, yields an affine double torus fibration Y over the base space M - the generalization of the correspondence space. We construct a symplectic form on the cotangent bundle to the loop space LY and study the relation of its symmetries to T-duality. We find that geometric T-duality is possible if and only if the torus symmetry is generated by Hamiltonian vector fields. Put differently, the obstruction to T-duality is the non-Hamiltonian action of the symmetry group.

연구 동기 및 목표

• B-장의 플럭스를 포함한 시그마 모델에서 T-duality의 전역적 장애를 명확히 하기 위해.
• 주어진 원환면 피브레이션 위에서 gerbe 연결을 사용하여 T-duality를 재구성하기 위해.
• 원환면 대칭이 해밀토니안 벡터장에 의해 생성될 때에만 기하학적 T-duality가 실현됨을 보여주기 위해.
• T-dual 대응 공간의 루프 공간의 코탄제인트 벡터장에 심플렉틱 형식을 구성하기 위해.
• Courant 괄호와 전류 대수의 축소가 T-duality 메커니즘에서 수행하는 역할을 규명하기 위해.

제안 방법

• B-장을 gerbe 위의 연결으로 간주함으로써, 플럭스와 장애를 전역적으로 기술할 수 있도록 한다.
• 기저 M 위에 이중 원환면 피브레이션으로서의 대응 공간 Y를 구성함으로써, 표준 T-duality 설정을 일반화한다.
• 대상 공간으로부터 끌어올린 심플렉틱 형식을 사용하여, 루프 공간 LY의 코탄제인트 벡터장에 심플렉틱 구조를 정의한다.
• 왜곡된 전류 대수의 축소를 통해 기저 다양체 M 위에 효과적인 Courant 괄호를 유도한다.
• Courant 괄호 형식을 적용하여 T-duality 변환과 루프 공간의 기하학, 해밀토니안 조건 간의 관계를 규명한다.
• 비해밀토니안 원환면 작용과 관련된 장애 클래스의 비영성에 의해 T-duality의 장애를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 B-장 플럭스를 포함한 시그마 모델에서 T-duality의 전역적 장애는 무엇인가?
• RQ2 주어진 원환면 피브레이션 위에서 gerbe 연결은 플럭스와 토파이 복합체 데이터를 포함한 T-duality의 전체적인 구조를 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 기하학적 T-duality가 시그마 모델의 루프 공간의 대칭으로 실현되는가?
• RQ4 기저 다양체 M 위의 Courant 괄호 구조는 T-duality 변환과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 원환면 작용의 해밀토니안 성질이 T-duality를 대칭으로 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• T-duality는 원환면 등장이 해밀토니안 벡터장에 의해 생성될 때에만 기하학적으로 실현되며, 비해밀토니안 작용은 장애를 유도한다.
• 대응 공간 Y는 M 위에 아핀 이중 원환면 피브레이션으로 구성되며, T-dual 기하학은 루프 공간의 심플렉틱 구조에 암묵적으로 포함되어 있다.
• 루프 공간 LY의 코탄제인트 벡터장에 심플렉틱 형식이 정의되며, 그 대칭성은 T-duality 변환과 대응된다.
• 왜곡된 전류 대수의 축소는 기저 M 위에 Courant 괄호를 유도하며, 이때의 틈새 형식 H3는 반드시 닫혀 있지 않아 전역 플럭스 구조를 반영한다.
• Courant 괄호의 O(n,n,Z) 대칭은 비자명한 B0와 H0 플럭스에 의해 명시적으로 깨지며, 이는 원환면의 리 대수의 구조와 결합된다.
• T-duality의 장애는 식 (1.2)와 그 일반화인 식 (1.3)에 기록된 조건들에 의해 표현되는 벡터장 KI가 해밀토니안가 아닐 때의 실패에 의해 암묵적으로 기록된다.