[논문 리뷰] Tables, bounds and graphics of short linear codes with covering radius 3 and codimension 4 and 5

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 덮개 반경 3과 부차차수 r=4,5인 q-진 선형 코드에 대한 길이 함수 ℓ_q(r,3) 및 d-길이 함수 ℓ_q(r,3,5)에 대한 새로운 상계를 제시한다. leximatrix 및 역leximatrix 알고리즘을 사용하여, q ≤ 7057 및 q ≤ 839인 범위에서 각각 ℓ_q(4,3) < 2.65√[3]{q ln q} 및 ℓ_q(5,3) < 2.884√[3]{q² ln q} 형태의 lexi-상계를 확립한다. 이는 이전의 상계를 향상시키고, q=(q′)³ 형태에 국한되지 않는 임의의 체 구조로까지 이를 확장한다.

ABSTRACT

The length function $\ell_q(r,R)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code of codimension (redundancy) $r$ and covering radius $R$. The $d$-length function $\ell_q(r,R,d)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code with codimension $r$, covering radius $R$, and minimum distance $d$. By computer search in wide regions of $q$, we obtained following short codes of covering radius $R=3$: $[n,n-4,5]_q3$ quasi-perfect MDS codes, $[n,n-5,5]_q3$ quasi-perfect Almost MDS codes, and $[n,n-5,3]_q3$ codes. In computer search, we use the step-by-step leximatrix and inverse leximatrix algorithms to obtain parity check matrices of codes. The new codes imply the following new upper bounds (called lexi-bounds) on the length and $d$-length functions: $$\ell_q(4,3)\le\ell_q(4,3,5)&lt;2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(4-3)/3}=2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q}=2.8\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{for}~11\le q\le7057;$$ $$\ell_q(5,3)\le\ell_q(5,3,5)&lt;3\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(5-3)/3}=3\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q^2}=3\sqrt[3]{q^2\ln q}~~ ext{ for }~37\le q\le839.$$ Moreover, we improve the lexi-bounds, applying randomized greedy algorithms, and show that $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.61\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~13\le q\le4373;$$ $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.65\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~4373

연구 동기 및 목표

• 덮개 반경 R=3과 부차차수 r=4,5인 q-진 선형 코드에 대해 길이 함수 ℓ_q(r,3) 및 d-길이 함수 ℓ_q(r,3,5)에 대한 더 날카운 상계를 도출하는 것.
• 기존의 상계를 q=(q′)³ 특수 케이스를 초월하여, 비제곱수 체 구조를 포함한 임의의 체 구조로 확장하는 것.
• 짧은 덮개 코드의 부정렬 행렬을 구성하기 위해 단계별로 적용 가능한 leximatrix 및 역leximatrix 알고리즘을 개발하고 적용하는 것.
• μ_q(r,3) < c_μ·ln q 형태의 새로운 밀도 lexi-상계를 유도하여 덮개 밀도 상계를 향상시키는 것.
• 넓은 범위의 q에 대해 컴퓨터 검색을 통해 상계의 강건성을 검증하고, 특히 무작위 그레디 기법을 포함한 방법을 적용하는 것.

제안 방법

• leximatrix 및 역leximatrix 알고리즘을 사용하여, 주어진 덮개 반경과 부차차수에 대해 최소 길이를 보장하는 부정렬 행렬을 재귀적으로 구성한다.
• 이 알고리즘들은 단계적 구성이 가능한 재귀적 g-부정렬 행렬 방법을 기반으로 하며, 원하는 성질을 가진 코드를 구성하기 위해 조정되었다.
• 특히 큰 q에 대해 코드 길이 상계를 향상시키기 위해 무작위 그레디 알고리즘을 적용한다.
• 이론적 상계로는 ℓ_q(r,3) < c_ℓ·√[3]{ln q}·q^{(r−3)/3} 및 μ_q(r,3) < c_μ·ln q 형태의 표현을 유도하였으며, 여기서 c_ℓ 및 c_μ는 q에 의존하지 않는다.
• NRC 쿠르치아토프 연구소의 고성능 컴퓨팅 자원을 활용하여 넓은 범위의 q에 대해 계산 실험을 수행한다.
• 결과는 이전 표와의 비교를 통해 검증되었으며, 예를 들어 그림 14와 같은 계수 도표를 통해 c_q 값이 q에 따라 어떻게 변화하는지 시각화되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q=(q′)³ 특수 케이스를 초월하여, 길이 함수 ℓ_q(4,3) 및 ℓ_q(5,3)에 대해 더 날카운 상계를 확립할 수 있는가?
• RQ2 leximatrix 및 역leximatrix 알고리즘이 덮개 반경 3과 부차차수 4 및 5를 가진 짧은 선형 코드를 구성하는 데 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 새로운 lexi-상계는 기존 상계와 비교해 어떤 점에서 점근적 성장률과 상수 요소에서 더 우수한가?
• RQ4 덮개 밀도 μ_q(r,3)는 q의 구조에 독립적으로 상한을 두고, μ_q(r,3) < c_μ·ln q 형태에서 달성 가능한 최적의 상수 c_μ는 무엇인가?
• RQ5 무작위 그레디 알고리즘이 결정적 leximatrix 구성 방식에 비해 코드 길이 측면에서 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• q ∈ [11, 7057] 범위에서, ℓ_q(4,3) ≤ ℓ_q(4,3,5) < 2.65√[3]{q ln q} 상계가 확립되었으며, 이는 이전의 lexi-상계를 향상시킨다.
• q ∈ [37, 839] 범위에서, ℓ_q(5,3) ≤ ℓ_q(5,3,5) < 2.884√[3]{q² ln q} 상계가 달성되었으며, 이 상한은 q > 401일 때 유효하다.
• 13 ≤ q ≤ 4373 범위에서 lexi-상계 ℓ_q(4,3) < 2.61√[3]{q ln q}가 성립하며, 11 ≤ q ≤ 401 범위에서 ℓ_q(5,3) < 2.785√[3]{q² ln q}도 성립한다.
• 덮개 밀도는 11 ≤ q ≤ 7057 범위에서 μ_q(4,3) < 3.3·ln q, 37 ≤ q ≤ 839 범위에서 μ_q(5,3) < 4.2·ln q로 상한이 둔다.
• 이 상계는 q ≠ (q′)³인 임의의 체 구조에도 유효하며, 광범위한 컴퓨터 검색과 알고리즘 검증에 의해 뒷받침된다.
• 계수 도표(그림 14)는 수평선 주변에서 안정적인 진동을 보이며, 다양한 q에 걸쳐 유도된 상계의 강건성을 뒷받침한다.