[논문 리뷰] Tables of sizes of small complete arcs in the plane PG(2,q), q 190027, obtained by an algorithm with fixed order of points (FOP)

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 02.

Coding theory and cryptography참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 q 값이 190,027까지 다양한 범위에서 프로젝티브 평면 PG(2,q)에서 작은 완전 호를 구성하는 알고리즘(FOP)을 제시한다. 이 알고리즘은 고정된 점 순서(특히 사전순서 및 싱거 순서)를 사용한다. 주요 기여는 완전 호의 크기 표를 종합적으로 제공하여, 점 순서의 선택이 호의 크기에 상당한 영향을 주지 않음을 보여주며, FOP 방법이 작은 호를 효율적으로 생성하는 데 있어 강건함을 뒷받iesen다.

ABSTRACT

In the recent works of the authors, an algorithm FOP using any fixed order of points in PG(2,q) is proposed for constructing small complete arcs. The algorithm is based on an intuitive postulate that PG(2,q) contains a sufficient number of relatively small complete arcs. Also, in these works, it is shown that the type of order on the points of PG(2,q) is not relevant. In this work we collect the sizes of complete arcs obtained by the algorithm FOP with the lexicographical and the Singer orders of points in the following regions: Lexicographical order: 3 � q � 67993, q prime; Lexicographical order: 43 sporadic prime q’s in the interval [69997... 190027]; Singer order: 5 � q � 40009, q prime.

연구 동기 및 목표

• 소수 q 값의 광범위한 범위에서 FOP 알고리즘이 PG(2,q)에서 작은 완전 호를 생성하는 데 효과적인지 조사하기 위해.
• 생성된 완전 호의 크기에 영향을 주는 점 순서의 선택(사전순서 또는 싱거 순서)이 영향을 미치는지 평가하기 위해.
• 유한 기하학 및 코드 이론 연구에 활용할 수 있는 체계적인 완전 호 크기 데이터셋을 편람하고 보고하기 위해.
• 이전 연구에서 제기된 바와 같이 PG(2,q)에는 상대적으로 작은 완전 호가 충분히 존재한다는 가설을 뒷받침하기 위해.
• 이전 결과를 확장하여 [69997, 190027] 범위의 산발적인 소수 q 값과 190,027까지의 더 큰 q 값들을 포함하기 위해.

제안 방법

• FOP 알고리즘은 PG(2,q) 내 점의 고정된 사전 순서를 사용하여, 호의 크기를 최소화하는 점을 추가함으로써 반복적으로 완전 호를 구성한다.
• 두 가지 다른 점 순서가 적용된다: 사전순서와 싱거 순서로, 이는 호의 크기에 미치는 영향을 평가하기 위함이다.
• 알고리즘은 다음 범위의 모든 소수 q 값에 적용된다: 3 ≤ q ≤ 67993 (사전순서), [69997, 190027] 범위의 43개 산발적인 소수 (사전순서), 및 5 ≤ q ≤ 40009 (싱거 순서).
• 모든 선이 호와 최소한 한 점에서 만날 수 있도록 완전성을 보장함으로써 구성 과정이 완전성을 확보한다.
• 알고리즘은 PG(2,q)에 충분히 많은 작은 완전 호가 존재한다는 직관적 가정에 기반한다. 이는 고정된 순서로 순회하면서 효율적인 구성이 가능하다는 것을 의미한다.
• 결과는 각 q 값에 대해 체계적으로 수집되고 표로 정리되며, 두 순서 방식에 따른 호의 크기가 보고된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FOP 알고리즘은 소수 q 값의 광범위한 범위에서 PG(2,q)에서 일관되게 작은 완전 호를 생성하는가?
• RQ2 다른 점 순서(사전순서 대비 싱거 순서)는 생성된 완전 호의 크기에 대해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 다른 순서를 사용할 경우 체계적인 호 크기의 차이가 존재하는가, 아니면 이전에 제안된 바와 같이 순서 유형이 무시할 만큼 영향을 주지 않는가?
• RQ4 FOP 알고리즘은 [69997, 190027] 범위의 산발적인 소수를 포함한 큰 소수 q 값에 대해 효과적으로 완전 호를 생성할 수 있는가?
• RQ5 연구된 q 값들에 걸쳐 최소 호 크기의 분포는 어떻게 되며, 이는 이론적 하한과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• FOP 알고리즘은 지정된 범위 내에서 테스트된 모든 소수 q 값에 대해 완전 호를 성공적으로 생성하였으며, 69,997를 초과하는 43개의 산발적인 소수도 포함한다.
• 사전순서와 싱거 순서를 사용하여 확보한 완전 호의 크기는 일관되게 작았으며, 점 순서의 영향이 호의 크기에 미치는 영향이 최소임을 뒷받침하는 바이다.
• 알고리즘은 이론적 하한에 가까운 크기의 완전 호를 생성하여, 호 구성의 높은 효율성을 나타낸다.
• 3 ≤ q ≤ 67993 (사전순서), 5 ≤ q ≤ 40009 (싱거 순서), 및 [69997, 190027] 범위의 43개 산발적인 소수에 대해 호 크기의 종합 표를 편람하였으며, 이는 유용한 참고 데이터셋을 형성한다.
• 결과는 FOP 방법이 큰 소수 체에서 강건하고 확장 가능하며, 점 순서의 유형에 관계없이 일관된 성능을 보임을 확인한다.