[논문 리뷰] Tail Asymptotic of Sum and Product of Random Variables with Applications in the Theory of Extremes of Conditionally Gaussian Processes

Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지정된 극한 尾 행동(예: 멱법 또는 지수 꼬리)을 갖는 두 개의 독립적인 확률변수의 합과 곱에 대한 尾 渐近행동을 도출한다. 이는 적분의 점근적 행동을 분석하기 위해 라플라스 방법을 사용한다. 이 결과들은 조건부 가우시안 과정의 점근적 초월 확률을 계산하는 데 응용되며, 일정한 드리프트를 랜덤 변수로 대체할 경우 꼬리 행동이 정량적으로 어떻게 변화하는지 보여준다.

ABSTRACT

We consider two independent random variables with the given tail asymptotic (e.g. power or exponential). We find tail asymptotic for their sum and product. This is done by some cumbersome but purely technical computations and requires the use of the Laplace method for asymptotic of integrals. We also recall the results for asymptotic of a self-similar locally stationary centered Gaussian process plus a deterministic drift; and we find the asymptotic for the same probability after multiplying the drift by a random variable, which is independent of this process. Keywords: tail asymptotic, Laplace method, self-similar processes, Gaussian processes, locally stationary processes.

연구 동기 및 목표

• 지정된 무거운 꼬리 또는 Weibull 유형의 꼬리 행동을 갖는 두 개의 독립적인 확률변수의 합과 곱의 꼬리 점근 행동을 결정하는 것.
• 자기유사적이고 국소적으로 정적인 가우시안 과정의 최대기능에 랜덤 드리프트를 통합하여 고전적인 극값 이론을 확장하는 것.
• 일정한 드리프트 항을 랜덤 변수로 대체할 경우 조건부 가우시안 과정의 최대값의 꼬리 확률에 어떤 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 적분 점근적 행동과 라플라스 방법을 사용하여 $ u \to \infty $ 일 때 이러한 과정의 생존확률에 대한 엄밀한 점근 근사식을 수립하는 것.
• 랜덤 또는 시간에 따라 변하는 드리프트를 갖는 비 stationary 가우시안 과정에서 극단 사건을 모델링하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 점근적 적분의 행동을 분석하기 위해 $ \lambda \to \infty $ 일 때 $ \int_a^b f(x) e^{\lambda S(x)} dx $ 형태의 적분에 대해 라플라스 방법을 사용한다. 이는 꼬리 점근 행동을 도출하는 데 핵심적이다.
• 생존확률 $ \mathbf{P}(X+Y > u) $ 를 다루기 쉽게 나누기 위해 부분적 적분과 스틸체스 적분 표현을 적용한다.
• 균일한 점근적 동치(레마 11)를 활용하여 기댓값 계산에서 복잡한 생존함수를 더 단순하고 점근적으로 동치인 표현으로 대체한다.
• 분석을 단순화하기 위해 $ \operatorname{ess}\sup Y = \sigma \in \mathbb{R} $ 의 일반적인 경우를 번역 불변성에 의해 $ \sigma = 0 $ 의 경우로 환원한다.
• 워튼의 레마와 변수 치환을 사용하여 $ h_X(u - y) $ 를 포함하는 적분을 경계점 근처에서 근사한다. 여기서 $ h_X $ 는 $ X $ 의 꼬리 함수이다.
• 라플라스 방법을 적분 $ \int_{-\delta}^0 \overline{F}_Y(y) dh_X(u - y) $ 에 적용하여 $ X+Y $ 의 꼬리에 대한 주요 기여를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $ X $ 가 Weibull 유형의 꼬리를 갖고, $ Y $ 가 본질적 상한점 근처에서 멱법 꼬리를 갖는 유한 지지역간을 갖는다면, $ X $ 와 $ Y $ 의 합의 꼬리 점근 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 특정 꼬리 형태를 갖는 두 개의 독립적인 확률변수 $ X $ 와 $ Y $ 의 곱 $ XY $ 의 점근 행동은 어떻게 되는가? 특히 한 쪽이 무거운 꼬리를 갖고 다른 쪽이 유한 지지역간을 갖는 경우에 대해.
• RQ3 일정한 드리프트 $ c $ 를 랜덤 변수 $ \eta $ 로 대체할 경우, $ u \to \infty $ 일 때 꼬리 확률 $ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta) > u \right) $ 에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 만약 $ \zeta $ 가 독립적인 랜덤 변수라면, $ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta - \zeta) > u \right) $ 의 점근 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 조건부 가우시안 과정의 최대기능에 대해, 랜덤 드리프트를 갖는 경우 라플라스 방법을 체계적으로 적용하여 정밀한 점근 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 독립적인 $ X $ 와 $ Y $ 에 대해 $ \overline{F}_X(u) \sim C_X u^\gamma \exp(-K_X u^\alpha) $ 와 $ \overline{F}_Y(u) \sim C_Y (\sigma - u)^\mu $ 이며, $ u \uparrow \sigma $ 일 때 $ \alpha > 1 $ 이면, $ X+Y $ 의 꼬리는 $ \overline{F}_{X+Y}(u) \sim C_{X+Y} u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X (u - \sigma)^\alpha) $ 를 만족하며, 여기서 $ C_{X+Y} = C_X C_Y (K_X \alpha)^{-\mu} \Gamma(\mu + 1) $ 이다.
• 합 $ X+Y $ 의 꼬리는 본질적 상한점 $ \sigma $ 근처에서 $ Y $ 가 기여하는 것으로 결정되며, 점근 행동은 $ X $ 의 지수 감소와 $ Y $ 의 상한점 근처에서의 다항식 증가 간의 상호작용에 의해 결정된다.
• 일정한 드리프트 $ c $ 가 독립적인 랜덤 변수 $ \eta $ 로 대체되면, 최대값 확률의 점근 행동은 $ \mathbf{P}\left(\sup_t (X(t) - \eta t^\beta) > u \right) \sim C \cdot u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X u^\alpha) $ 로 변하며, 이는 합의 경우와 동일한 지수 형태를 갖는다.
• 독립적인 랜덤 이동항 $ \zeta $ 가 기능 $ \sup_t (X(t) - c t^\beta - \zeta) $ 에 존재할 경우, 꼬리 점근 행동은 $ \zeta $ 의 꼬리에 따라 달라지며, 합의 경우와 동일한 함수 형태를 갖는다.
• 라플라스 방법은 랜덤 드리프트를 갖는 자기유사적이고 국소적으로 정적인 가우시안 과정의 최대값 생존확률의 주요 점근 행동을 정확히 포착할 수 있다. 이는 드리프트가 일정하지 않은 경우에도 성립한다.
• 레마 9에 의해 보여지듯이, 꼬리 함수의 미세한 변화에 대해 결과들이 강건하며, 생존함수의 인자에 대한 유계 이동에 대해 꼬리 점근 행동이 유지됨을 보여준다.