[논문 리뷰] Tail indices for AX+B recursion with triangular matrices

Muneya Matsui, W. Świątkowski|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 29.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 계수 행렬이 삼각행렬인 다변량 확률적 재귀방정식(SREs)의 정적해에 대해 처음으로 정확한 尾지수 渐近 해석을 확립하며, 구성요소별 꼬리 지수들이 행렬의 구조에 따라 다름을 증명한다. 고전적 Kesten 이론은 비가역성 조건을 가정하여 모든 구성요소에서 동일한 꼬리 지수를 도출하지만, 본 연구는 모멘트 조건과 스펙트럼 반경 분석에 기반한 귀납적 접근을 통해 각 구성요소에 대해 명시적이고 상이한 꼬리 지수를 도출한다. 이는 다변량 GARCH 모델에 응용된다.

ABSTRACT

Multivariate stochastic recurrence equations (SREs) are investigated when coefficients are triangular matrices. If coefficient matrices of SREs have all strictly positive elements, the Kesten's classical result yields solutions with regularly varying tails such that the tail indices of solutions are the same through coordinates. This framework is too restrictive for applications. In order to widen the applicability of the SREs, we study SREs with triangular matrix coefficients and prove that they have regularly varying solutions which may exhibit coordinate-wisely different tail exponents. We also specify the coefficients for regularly varying tails. Several applications are suggested for GARCH models.

연구 동기 및 목표

• 계수 행렬이 삼각행렬인 경우, 비가역성 조건이 성립하지 않아 구성요소 간 꼬리 행동이 이질적일 수 있는 SRE의 정상해에 대해 고전적 Kesten 이론을 확장하는 것.
• 비음수 성분을 가진 삼각행렬과 적절한 모멘트 조건을 갖는 SRE에 대해 정적해의 존재를 확립하는 것.
• 정적해의 각 구성요소에 대해 정확한 꼬리 渐近 해석을 도출하여, 꼬리 지수들이 삼각행렬의 구조와 계수 행렬의 모멘트에 따라 달라짐을 보이는 것.
• 실제로 관측되는 구성요소별 꼬리 행동을 반영하지 못하는 고전적 이론의 한계를 극복하기 위해 다변량 GARCH(1,1) 과정에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 행렬의 스펙트럼 반경과 행렬의 거듭제곱에 대한 모멘트 조건을 포함한 새로운 귀납적 방법을 통해 꼬리 지수의 종속성 구조를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 삼각행렬의 구조에 기반한 귀납적 증명 전략을 사용하며, 각 구성요소가 더 높은 인덱스를 가진 구성요소들에만 의존하므로 꼬리 행동을 단계적으로 분석할 수 있다.
• 함수 $ h(s) = \inf_{n \in \mathbb{N}} (\mathbb{E} \| \boldsymbol{\Pi}_n \|^s)^{1/n} $ 를 정의하고, $ \boldsymbol{\Pi}_n = \mathbf{A}_1 \cdots \mathbf{A}_n $ 이며, 이 함수의 행동을 분석하여 정규화된 변화의 임계 지수 $ \alpha $ 를 결정한다.
• 증명은 약화된 모멘트 및 꼬리 조건 하에서 두 개 이상의 독립적 랜덤 변수의 곱의 꼬리에 대한 상한을 제공하는 수정된 Breiman의 보조정리(Lemma B.1)에 기반한다.
• 핵심 기술적 단계로는 $ \rho(\mathbb{E} \mathbf{A}^\varepsilon) < 1 $ 이 되도록 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 보장하는 것으로, 이는 Gelfand의 공식과 행렬 노름의 등가성에 의해 정적해의 존재를 보장한다.
• 저자들은 $ W_i $ 가 $ W_{i+1}, \dots, W_d $ 에 의존하는 재귀적 종속성 구조를 도입하고, 이를 통해 $ \alpha_i, \dots, \alpha_d $ 에 따라 구성요소별 꼬리 지수 $ \widetilde{\alpha}_i $ 를 유도한다.
• 행렬의 $ \ell^1 $-노름을 사용하여 스펙트럼 반경을 제어하고, 하향 곱법의 성질을 활용하여 행렬 곱의 성장률을 유한하게 제한함으로써 정적해의 무한급수 표현의 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Kesten 정리가 비가역성 조건을 위반하는 삼각행렬 계수를 가진 SRE에 대해 확장 가능한가? 이 경우 구성요소 간 꼬리 지수가 다를 수 있다.
• RQ2 삼각행렬 SRE의 정적해의 각 구성요소 $ W_i $ 에 대해 꼬리 지수 $ \widetilde{\alpha}_i $ 의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 구성요소 $ W_i $ 의 꼬리 행동은 $ \mathbb{E}[A_{ii}^{\alpha_i}] = 1 $ 과 상삼각행렬의 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 삼각행렬 SRE의 인과적 종속성 구조를 고려한 귀납적 방법을 통해 꼬리 渐近 해석을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 실제로 관측되는 구성요소별 꼬리 행동을 반영하지 못하는 다변량 GARCH(1,1) 모델에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 계수 행렬 $ \mathbf{A}_t $ 가 삼각행렬인 SRE의 정적해 $ \mathbf{W} $ 는 정규화된 변화를 보이며, 구성요소별 꼬리 지수 $ \widetilde{\alpha}_i $ 가 서로 다름을 보인다.
• 각 구성요소 $ i $ 에 대해 $ \mathbb{P}(W_i > x) \sim c_i x^{-\widetilde{\alpha}_i} $ 를 만족하며, $ x \to \infty $ 일 때 $ c_i > 0 $ 이고 $ \widetilde{\alpha}_i > 0 $ 이다.
• 첫 번째 구성요소의 꼬리 지수 $ \widetilde{\alpha}_1 $ 은 $ \min(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_d) $ 와 같으며, $ i > 1 $ 인 경우 $ \widetilde{\alpha}_i $ 는 $ \alpha_i, \dots, \alpha_d $ 에 따라 달라지며, 이는 시스템 내 재귀적 종속성에 기인한다.
• 이 결과는 [10]에서 다룬 $ d=2 $ 경우의 일반화로, $ \widetilde{\alpha}_1 = \min(\alpha_1, \alpha_2) $, $ \widetilde{\alpha}_2 = \alpha_2 $ 를 임의의 차원으로 확장한다.
• 증명은 새로운 귀납적 체계와 모멘트 및 꼬리 조건이 약화된 상황에서 곱의 꼬리에 대한 상한을 제공하는 수정된 Breiman의 보조정리를 활용한다.
• 이 프레임워크는 삼각행렬의 구조가 자연스럽게 나타나는 다변량 GARCH(1,1) 과정에 적용 가능하며, 금융 데이터에서 관측되는 구성요소별 꼬리 행동을 잘 반영한다.