[논문 리뷰] Tail measure and tail spectral process of regularly varying time series

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추상적 프레임워크에서 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도와 스펙트럴 尾측과정 사이의 일대일 대응을 수립하며, 어떤 이동 불변 성질을 가진 동차 측도도 포아송 점 과정을 통한 구성으로 인해 정상적이고 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도로 실현될 수 있음을 증명한다. 핵심 기여는 이러한 두 대상 간의 관계를 엄밀하게 특성화한 것으로, 최대안정 과정에 대한 결과를 일반화하고, 확률적 표현과 최대 지수를 통한 시간 변화 공식을 확장한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is an exhaustive investigation of the link between the tail measure of a regularly varying time series and its spectral tail process, independently introduced in Owada and Samorodnitsky (2012) and Basrak and Segers (2009). Our main result is to prove in an abstract framework that there is a one to one correspondance between these two objets, and given one of them to show that it is always possible to build a time series of which it will be the tail measure or the spectral tail process. For non negative time series, we recover results explicitly or implicitly known in the theory of max-stable processes.

연구 동기 및 목표

• 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도와 스펙트럴 尾측과정 사이에 일대일 대응이 존재하는지 여부라는 근본적인 질문을 다루기.
• 완전한 분리 가능한 거리 공간 위의 동차성과 이동 불변성을 중심으로 한 추상적 공간에서의 尾측도에 대한 일반적 프레임워크 제공.
• 尾측도의 분산성 및 최대 지수 표현의 존재를 특성화하고, 극단적 지수 개념을 확장하기.
• 주어진 이동 불변이고 동차인 尾측도로부터 포아송 점 과정을 이용해 정상적이고 정규적으로 변화하는 시간 시리즈를 구성하기.
• 시간 변화 공식을 일반적인 추상적 설정으로 확장하고, 확률적 표현을 통해 스펙트럴 尾측과정과 연결하기.

제안 방법

• 측도 이론적 도구만을 사용하여 수열 공간 위의 동차성와 이동 불변성을 갖는 尾측도로 정의하며, 확률적 점근 해석을 포함하지 않는다.
• 시간 변화 공식의 일반화로 '기울임 이동 공식(tilt shift formula)'을 도입하여 스펙트럴 尾측과정과 尾측도의 확률적 표현을 연결한다.
• 정리 2.9를 통해 이동 불변 尾측도, 그들의 확률적 표현, 스펙트럴 尾측과정 사이의 일대일 대응를 수립한다.
• 추상 거리 공간 위의 포아송 점 과정의 M0 수렴과 정규 변화를 이용하여 주어진 尾측도로부터 시간 시리즈를 구성한다.
• 수렴하는 랜덤 측도 이론(Kallenberg, 2017)과 정규 변화 이론(Hult and Lindskog, 2006)을 적용하여 분포 수렴을 보장한다.
• 극단적 지수의 일반화로 최대 지수를 정의하며, 구성된 시간 시리즈의 극단적 지수와 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도와 스펙트럴 尾측과정 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ2 수열 공간 위의 어떤 이동 불변이고 동차인 측도도 정상적이고 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도로 실현될 수 있는가?
• RQ3 추상적 설정에서 스펙트럴 尾측과정에 대한 시간 변화 공식은 尾측도의 이동 불변성에서 유도되는가?
• RQ4 尾측도의 분산성 표현은 어떤 조건에서 존재하며, 혼합 이동 평균 표현과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 尾측도의 최대 지수는 해당 시간 시리즈의 극단적 지수로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 이동 불변이고 동차인 尾측도, 그들의 확률적 표현, 스펙트럴 尾측과정 사이에 일대일 대응를 증명하며, 정리 2.9에서 완전한 이중성(duality)을 수립한다.
• 지수 α > 0 인 어떤 이동 불변이고 동차인 측도 ν도 추상 거리 공간 위의 포아송 점 과정을 통한 구성으로 인해 정상적이고 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 尾측도로 실현될 수 있다.
• 스펙트럴 尾측과정에 대한 시간 변화 공식은 尾측도의 이동 불변성의 직접적인 결과로 나타나며, 최대안정 과정에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• 극단적 지수의 일반화로 도입된 최대 지수는 구성된 시간 시리즈의 극단적 지수와 일치함을 보여주며, 尾측도의 독립성에 대한 새로운 특성화를 제공한다.
• 尾측도의 분산성 표현은 포아송 클러스터 과정을 통한 표현이 가능할 때에만 존재하며, 최대안정 과정의 혼합 이동 평균 구성과 연결된다.
• 포아송 점 과정의 라플라스 기능 수렴을 이용하여 경험 측도의 약수렴을 증명함으로써 구성의 타당성을 확보한다.