[논문 리뷰] Tame dynamics and robust transitivity

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$-위상에서 即, $C^1$-위상에서도, 흐름이 안정적인 미분구조에서 체인-재귀 클래스의 강건한 전이성은 일반적이지 않음을 보여준다. 1차원 중심을 가진 부분적으로 초구형 미분구조의 구성 기법을 사용하여, 임의의 $r > 1$에 대해 $C^r$-편미분에 대해 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스가 전이적이지 않은 $C^1$-개방 집합을 제시함으로써, 이 설정에서 강건한 전이성의 성질이 얼마나 취약한지 보여준다.

ABSTRACT

One main task of smooth dynamical systems consists in finding a good decomposition into elementary pieces of the dynamics. This paper contributes to the study of chain-recurrence classes. It is known that $C^1$-generically, each chain-recurrence class containing a periodic orbit is equal to the homoclinic class of this orbit. Our result implies that in general this property is fragile. We build a C1-open set U of tame diffeomorphisms (their dynamics only splits into finitely many chain-recurrence classes) such that for any diffeomorphism in a C-infinity-dense subset of U, one of the chain-recurrence classes is not transitive (and has an isolated point). Moreover, these dynamics are obtained among partially hyperbolic systems with one-dimensional center. R\\'esum\\'e : Dynamique mod\\'er\\'ee et transitivit\\'e robuste. L'un des buts des syst\\`emes dynamiques consiste \\`a trouver une bonne d\\'ecomposition de la dynamique en pi\\`eces \\'el\\'ementaires. Cet article contribue \\`a l'\\'etude des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines. On sait que C1-g\\'en\\'eriquement, chaque classe de r\\'ecurrence par cha\\^ines contenant une orbite p\\'eriodique coincide avec la classe homocline de cette orbite. Notre r\\'esultat montre que cette propri\\'et\\'e est en g\\'en\\'erale fragile. Nous construisons un ouvert U de diff\\'eomorphismes mod\\'er\\'es (leur dynamique ne se d\\'ecompose qu'en un nombre fini de classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines) tel que pour tout diff\\'eomorphisme appartenant \\`a un sous-ensemble C-infini-dense de U, une des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines n'est pas transitive (elle a un point isol\\'e). De plus, ces dynamiques sont obtenues comme syst\\`emes partiellement hyperboliques avec une direction centrale uni-dimensionnelle.

연구 동기 및 목표

• 흐름이 안정적인 미분구조에서 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스가 반드시 강건하게 전이적이어야 하는지 조사하기.
• 체인-재귀 클래스가 호모클리닉 클래스와 일치하는 성질이 작은 $C^r$-편미분에 대해 안정적인지 결정하기.
• 강건하게 고립된 클래스가 전이적이지 않은 $C^1$-개방 집합의 명시적 예를 제시하기.
• 1차원 중심을 가진 부분적으로 초구형 시스템의 역학이 체인-재귀성과 전이성과 어떻게 관련되는지 분석하기.

제안 방법

• 차원이 3 이상인 컴act 다중위상 $M$ 위에서, $\dim(M) \geq 3$인 $C^1$-개방 집합 $\mathcal{U}$를 구성하여, 그 위에서의 역학이 안정적이고 부분적으로 초구형인 미분구조를 정의한다.
• 미분구조 $f \in \mathcal{U}$에 대해 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스 $\mathcal{C}_f$를 정의하여, $C^1$-편미분에 대해 유지됨을 보장한다.
• 안정적 인덱스가 각각 2와 1인 초구형 주기점 $p$와 $q$ 근처의 국소 역학을 이용하여, 불변 다발의 교차를 분석한다.
• $\lambda$-레마와 교차성 조건을 적용하여, 편미분에 의해 $W^{s}(p)$와 $W^{u}(q)$가 교차하는 것을 보인다.
• 강건하게 고립된 클래스 $\mathcal{C}_g$가 전이적이지 않은 $g$의 집합이 $f$의 $C^1$-근방에서 $C^r$-밀도임을 보이기 위해, 코드미니전-일차 초다양체의 논증을 사용한다.
• $\mathcal{C}_f$의 비전이 부분을 $W^s(q) \cap W^u(p)$로 특성화하여, 이 집합이 고립된 점들로 이루어져 있고 $p$ 또는 $q$의 호모클리닉 클래스와는 서로소임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흐름이 안정적인 미분구조에서 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스는 반드시 강건하게 전이적이어야 하는가?
• RQ2 $C^1$-개방 집합의 흐름이 안정적인 미분구조가 존재하여, 임의의 $r > 1$에 대해 $C^r$-편미분에서 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스가 전이적이지 않은가?
• RQ3 체인-재귀 클래스와 호모클리닉 클래스가 일치하는 성질이 작은 $C^r$-편미분에 대해 어느 정도 안정적인가?
• RQ4 1차원 중심을 가진 부분적으로 초구형 시스템의 역학은 체인-재귀 클래스의 전이성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 이러한 시스템에서 강건하게 고립된 체인-재귀 클래스의 비전이 부분의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 임의의 컴 pact 다중위상 $M$에 대해 $\dim(M) \geq 3$이면, $C^1$-개방 집합 $\mathcal{U}$가 존재하여, 모든 $f \in \mathcal{U}$에 대해 체인-재귀 클래스 $\mathcal{C}_f$가 강건하게 고립된다.
• 모든 $r > 1$에 대해, $f$의 $C^1$-근방에서 $\mathcal{C}_g$가 전이적이지 않은 $g$의 집합은 $C^r$-밀도이다.
• $\mathcal{C}_f$의 비전이 부분은 정확히 $W^s(q) \cap W^u(p)$이며, 이는 고립된 점들로 이루어져 있고 $p$의 호모클리닉 클래스와는 서로소이다.
• $p$의 호모클리닉 클래스는 $q$의 호모클리닉 클래스와 일치하며, $\mathcal{C}_f$ 내 동일한 안정적 인덱스를 가진 모든 주기점들을 포함한다.
• $\mathcal{C}_f \setminus H_f$에 속한 임의의 점은 $W^s(q)$에 속하지 않으면 $p$의 호모클리닉 클래스에 속하고, $W^u(p)$에 속하지 않으면 $q$의 호모클리닉 클래스에 속한다.
• 강건하게 고립된 클래스가 전이적이지 않은 $\mathcal{C}_g$를 가진 미분구조의 집합은 $C^1$-위상에서 코드미니전-일차 초다양체의 가산 합집합이며, 이는 $r > 1$에 대해 $C^r$-밀도임을 의미한다.