[논문 리뷰] Tangent and Bernoulli numbers related to Motzkin and Catalan numbers by means of numerical triangles

José Luis Arregui|ArXiv.org|2001. 09. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 행렬에 의해 생성된 수치 삼각형을 통해 베르누이 수와 탄젠트 수 사이의 새로운 연결 고리를 설정한다. 모츠킨 수와 카탈란 수와 같은 조합 구조를 통해 이루어진다. 특정 무한 행렬을 정의함으로써, 첫 번째 열이 탄젠트 수를 제공하고 대각선 원소가 제타 함수 값과 관련된 베르누이 수를 가지는 삼각형을 유도한다. 이는 모츠킨 경로를 사용한 ζ(2n)의 새로운 조합적 해석과 행렬 기반의 재귀 체계를 제공한다.

ABSTRACT

It is shown that Bernoulli numbers and tangent numbers (the derivatives of the tangent function at zero) can be obtained by means of easily defined triangles of numbers in several ways, some of them very similar to the Catalan triangle and a Motzkin-like triangle. Our starting point in order to show this is a new expression of Zeta(2n) involving Motzkin paths.

연구 동기 및 목표

• 베르누이 수와 탄젠트 수를 모츠킨 수와 카탈란 수와 연결하는 새로운 조합적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 탄젠트 수가 행렬에 의해 생성된 수치 삼각형의 첫 번째 열로 나타남을 보여주기 위해.
• ζ(2n)가 특정 행렬 삼각형을 통해 모츠킨 경로와 그 수를 세는 방식으로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• 행렬 기반의 수치 삼각형을 통해 베르누이 수, 탄젠트 수, 시컨트 수의 연구를 통합하기 위해.
• 엔팅거의 교대 순열에 대한 작업을 확장하여 이를 행렬-삼각형 형식에 통합하기 위해.

제안 방법

• n행 n+1열을 가진 행렬 A(n)의 수열을 정의하여, 행렬 곱셈을 통해 수치 삼각형 T = (tn,m)를 생성한다: tn = tn−1A(n).
• 행렬 A의 원소 aij = j(j+1) if i ≥ j−1, 그렇지 않으면 0인 경우, 첫 번째 열이 탄젠트 수 tan(2n−1)(0)를 제공하는 삼각형을 생성한다.
• 칼라비의 방법에 영감을 얻은 부피 해석을 사용하여, ζ(2n)를 모츠킨 경로에 대한 합으로 조합적으로 표현한다.
• 변수 x를 포함하는 행렬 A(x)를 구성하여 다항식 Pn(x)를 생성한다. 이때 Pn(1) = (n+1)! 이고 Pn(0) = tan(n+1)(0) 이며, 이는 탄젠트 수의 수치적 추출을 가능하게 한다.
• 엔팅거의 재귀식 En+1,k+1 = En+1,k + En,n−k 를 사용하여, 부분 행렬을 통해 시델-엔팅거-아르놀트 삼각형을 생성한다.
• 행렬 곱을 적용하여 수정된 행렬 A에 의해 생성된 삼각형에서 시컨트 수와 탄젠트 수를 특정 원소로 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄젠트 수와 베르누이 수는 행렬 기반의 수치 삼각형을 통해 체계적으로 생성될 수 있는가?
• RQ2 ζ(2n)는 모츠킨 경로와 그 수를 세는 방식을 통해 어떻게 조합적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 행렬의 구조는 카탈란 수, 모츠킨 수, 탄젠트 수와 같은 수열을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 엔팅거의 재귀식은 행렬-삼각형 프레임워크에 통합될 수 있으며, 이를 통해 시컨트 수와 탄젠트 수를 모두 복원할 수 있는가?
• RQ5 행렬에 의해 생성된 삼각형을 사용한 다항식 보간법을 통해 Pn(x)를 x=0에서 탄젠트 수를 추출할 수 있는가?

주요 결과

• aij = j(j+1) for i ≥ j−1 인 행렬 A에 의해 생성된 삼각형의 첫 번째 열은 탄젠트 수 tan(2n−1)(0)의 수열을 제공한다.
• 동일한 삼각형의 대각선 원소는 제타 함수를 통해 베르누이 수와 관련되어 있으며, ζ(2n)는 모츠킨 경로에 대한 합으로 표현될 수 있다.
• 행렬 A(x)로부터 생성된 다항식 Pn(x)는 Pn(1) = (n+1)! 과 Pn(0) = tan(n+1)(0) 를 만족하며, 작은 x 값에서 탄젠트 수의 수치적 추출을 가능하게 한다.
• x와 j(j+1)를 포함하는 원소를 가진 행렬 A(x)는 Pn(x)가 x = 1/(n+1)! 일 때 tan(n+1)(0)을 오차 1 이내로 근사하는 삼각형을 생성한다.
• 엔팅거의 재귀식을 사용하여, 원소가 i+j > n 이면 1, 그렇지 않으면 0인 부분 행렬 A(n)을 통해 시델-엔팅거-아르놀트 삼각형을 재구성할 수 있다.
• aij = 1 if i가 홀수이고 i≤j, 또는 j가 홀수이고 j≤i+1 인 행렬 A는 각 행이 엔팅거 수의 순열이며, 첫 번째 열이 진동 수 βn을 제공하는 삼각형을 생성한다.