[논문 리뷰] Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 04.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기저 Norden 계량의 완전한 상승을 통해 거의 허미션저-노르덴 구조를 거의 Norden 다양체의 접선(bundle)에 구성한다. 이 구조의 기하적 성질을 특성화하여, h-구면(base)의 경우 $J_\alpha$-전혀 실수 2차원 평면에서는 일정한 섹션 곡률을 보이고, $J_\alpha$-해석적 2차원 평면에서는 곡률가 0임을 보이며, 기저 다양체의 곡률 텐서로부터 명시적인 곡률 공식을 유도한다.

ABSTRACT

The tangent bundle of an almost Norden manifold and the complete lift of the Norden metric is considered as a 4n-manifold. It is equipped with an almost hypercomplex Hermitian-Norden structure. It is characterized geometrically. The case when the base manifold is an h-sphere is considered.

연구 동기 및 목표

• 기각 Norden 다양체 $M$ 의 접선(bundle) $TM$ 에 거의 허미션저-노르덴 구조를 구성하기 위해.
• 기저 Norden 계량의 완전한 상승을 갖춘 $TM$ 의 기하적 성질을 특성화하기 위해.
• 기저 다양체가 h-구면인 특수한 켈러-노르덴 다양체일 때 $TM$ 의 곡률 행동을 분석하기 위해.
• 기저 다양체의 곡률 및 그 공변도함수에 따라 $TM$ 의 다양한 2차원 평면의 섹션 곡률을 결정하기 위해.

제안 방법

• 기저 다양체 $M$ 의 벡터장의 수평 및 수직 상승을 사용하여 $TM$ 상에서 거의 복소 구조 $J_1$, $J_2$, $J_3$ 를 정의한다.
• $\widehat{g}$ 는 기저 Norden 계량 $g$ 의 완전한 상승으로 정의되며, 허미션저-노르덴 호환성 관계를 유지한다.
• $\widehat{g}$ 의 리만-크리비츠 연결을 사용하여 $TM$ 의 곡률 텐서 $\widehat{R}$ 를 계산하며, 기저 곡률 텐서 $R$ 과 그 공변도함수 $\nabla R$ 로 표현된다.
• $J_\alpha$-해석적 및 $J_\alpha$-전혀 실수 2차원 평면의 섹션 곡률은 곡률 분해와 h-구면의 구조를 이용하여 유도된다.
• h-구면 기저의 경우, 알려진 곡률 텐서 $R = \nu(\pi_1 - \pi_2) + \nu^*\pi_3$ 를 사용하여 곡률 공식을 특수화한다. 여기서 $\nu = \frac{a}{a^2 + b^2}$, $\nu^* = \frac{-b}{a^2 + b^2}$.
• $\mathcal{W}_i$-클래스를 사용하여 $TM$ 상의 구조 분류를 분석하며, $J_1$ 에서는 $TS \in \mathcal{AK}$, $J_2, J_3$ 에서는 $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$ 라는 결과를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 계량의 완전한 상승을 통해 거의 Norden 다양체의 접선(bundle)에 거의 허미션저-노르덴 구조가 자연스럽게 유도될 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 접선(bundle) $TM$ 의 $J_\alpha$-해석적 및 $J_\alpha$-전혀 실수 2차원 평면의 섹션 곡률 성질은 무엇인가?
• RQ3 접선(bundle) $TM$ 의 곡률은 기저 다양체 $M$ 의 곡률 및 그 공변도함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기저 다양체가 h-구면, 즉 일정한 해석적 곡률과 전혀 실수 곡률을 갖는 켈러-노르덴 다양체일 경우, 어떤 특별한 곡률 행동이 나타나는가?
• RQ5 세 가지 거의 복소 구조에 대해, $TM$ 상의 거의 $hcHN$-구조는 $\mathcal{W}_i$-클래스 기반으로 어떻게 분류되며, 각각의 차이점은 무엇인가?

주요 결과

• 기각 Norden 다양체의 접선(bundle) $TM$ 는 기저 계량의 완전한 상승을 통해 잘 정의된 거의 허미션저-노르덴 구조를 갖는다.
• 매개수 $(a,b)$ 를 가진 h-구면 기저 다양체의 경우, $J_1$-해석적 2차원 평면의 섹션 곡률은 0이며, $J_1$-전혀 실수 2차원 평면의 섹션 곡률은 일정하고 $\frac{a}{a^2 + b^2}$ 와 같다.
• $J_2$-해석적 2차원 평면의 섹션 곡률은 0이며, $J_2$-전혀 실수 2차원 평면의 섹션 곡률은 일정하고 $\frac{a}{a^2 + b^2}$ 와 같다.
• $J_3$-해석적 2차원 평면의 섹션 곡률은 0이며, $J_3$-전혀 실수 2차원 평면의 섹션 곡률은 일정하고 $\frac{a}{a^2 + b^2}$ 와 같다.
• $TS$ 의 곡률 텐서 $\widehat{R}$ 는 명시적으로 계산되었으며, 모든 $i,j$ 에 대해 $\widehat{k}(\xi_i, \eta_j) = \widehat{k}(\xi_i, \eta_{\bar{j}}) = 0$ 이고, $i \neq j$ 일 때 $\widehat{k}(\xi_i, \xi_j) = \widehat{k}(\xi_i, \xi_{\bar{j}}) = \frac{a}{a^2 + b^2}$ 라는 결과를 얻는다. $\eta$-쌍에 대해서도 유사한 결과가 성립한다.
• $TS$ 상의 구조는 $J_1$ 에서는 $\mathcal{AK}$ 로 분류되며, $J_2$ 와 $J_3$ 에서는 $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$ 에 속한다. 이는 Nijenhuis 텐서 성분이 0이 아님을 나타낸다.