[논문 리뷰] Tangent power sums and their applications

Vladimir Shevelev, Peter J. C. Moses|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 29.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 홀수 n과 양의 정수 p에 대해 탄젠트 함수의 거듭제곱 합 σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n-1)/2} tan²ᵖ(πk/n)을 조사한다. 원분 단위의 성질과 (n−1)진수 표기에서의 자릿수 합 성질을 이용하여, 재귀식, 점근적 공식, 그리고 구성과 부호가 번갈아지는 이항계수 합을 포함하는 명시적 조합적 표현을 도출한다. 주요 결과는 σ(n,p)가 항상 n의 정수 배이며, 차수 2p의 n에 관한 다항식이며, 주어진 계수는 (2²ᵖ⁻¹(2²ᵖ−1)/ (2p)!) |B₂ₚ| n²ᵖ로 주어진다.

ABSTRACT

For integer $m, p,$ we study tangent power sum $\sum^m_{k=1} an^{2p}\frac{πk}{2m+1}.$ We prove that, for every $m, p,$ it is integer, and, for a fixed p, it is a polynomial in $m$ of degree $2p.$ We give recurrent, asymptotical and explicit formulas for these polynomials and indicate their connections with Newman's digit sums in base $2m.$

연구 동기 및 목표

• 모든 홀수 n과 양의 정수 p에 대해 σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n−1)/2} tan²ᵖ(πk/n)가 n의 정수 배임을 입증하는 것.
• 원분의 성질과 (n−1)진수 자릿수 합의 성질을 이용하여 σ(n,p)의 닫힌 표현식을 도출하는 것.
• σ(n,p)가 차수 2p의 n에 관한 다항식이며, 베르누이 수를 포함한 특정 주계수를 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 구성과 (n−1)진수 자릿수 합 산술을 통해 σ(n,p)를 조합적 수론과 연결하는 것.
• 구성 계수와 자릿수 합 제약 조건에 대한 교대 합을 이용한 σ(n,p)의 명시적 공식 제공

제안 방법

• tan²(πk/n)을 ω = e²ᵖⁱ⁄ⁿ인 단위근에 대한 유리함수로 표현하여, ωᵏ에 대한 기하급수의 곱의 합으로 전환한다.
• ∑_{k=0}^{n−1} ωᵏʳ = n (r ≡ 0 (mod n)일 때), 그렇지 않으면 0이라는 항등식을 이용하여, 합을 r ≤ (n−1)²ᵖ 이며 r ≡ 0 (mod n)인 정수의 개수로 줄이고, 자릿수 합 s(r)에 따라 부호 (−1)ˢ⁽ʳ⁾를 부여한다.
• 자릿수 합 조건 sᵉ(r) ≡ sᵒ(r) (mod n)을 적용하여 (n−1)진수 표현에서 r이 n으로 나누어떨어지는 조건을 특성화한다. 이때 (n−1)ⁱ ≡ (−1)ⁱ (mod n)의 합동식을 사용한다.
• 자릿수 합 제약 조건을 갖는 정수의 구성 수를 위한 생성함수를 구성하여, ∑ gᵢ = j 이며 0 ≤ gᵢ ≤ n−2인 비negative 정수 해의 수를 세는 계수 C₀(j,p,n−2)를 유도한다.
• 짝수와 홀수 자릿수 위치에서의 대칭 기여를 조합하여 σ(n,p) = (n/2) × ∑ⱼ [ (C₀(j,p,n−2))² + 2∑ₖ (−1)ᵏ C₀(j,p,n−2)C₀(j+nk,p,n−2) ]의 명시적 공식을 도출한다.
• 탄젠트 제곱의 특성다항식에 뉴턴 항등식을 적용하여 재귀식을 유도하고, σ(n,p)가 n에 관한 다항식임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 n과 양의 정수 p에 대해 합 σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n−1)/2} tan²ᵖ(πk/n)의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ2 왜 σ(n,p)는 항상 n의 정수 배이며, 차수 2p의 n에 관한 다항식으로 표현되는가?
• RQ3 σ(n,p)는 (n−1)진수 자릿수 합 또는 구성과 같은 조합적 대상으로 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 σ(n,p)를 n에 관한 다항식으로 볼 때 주계수는 무엇이며, 베르누이 수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 왜 (n−1)진수 자릿수 합 제약 조건에 대한 조합 계수의 교대 합이 σ(n,p)의 정확한 값을 만들어내는가?

주요 결과

• 원분 합과 자릿수 합의 기현수 성질을 통한 증명을 통해, 모든 홀수 n ≥ 3과 양의 정수 p에 대해 σ(n,p)는 n의 정수 배임을 입증하였다.
• σ(n,p)는 차수 2p의 n에 관한 다항식이며, 주계수는 (2²ᵖ⁻¹(2²ᵖ−1)/ (2p)!) |B₂ₚ| n²ᵖ로 주어지며, 여기서 B₂ₚ는 2p번째 베르누이 수이다.
• 명시적 공식 σ(n,p) = (n/2) × ∑ⱼ [ (C₀(j,p,n−2))² + 2∑ₖ (−1)ᵏ C₀(j,p,n−2)C₀(j+nk,p,n−2) ]이 도출되었으며, 여기서 C₀(j,p,s)는 j를 p개의 부분으로 나누는 구성의 수로 각 부분이 s 이하인 경우를 세는 계수이다.
• n=5, p=2일 때 공식을 적용하면 σ(5,2) = 90을 얻으며, ∑_{k=1}² tan⁴(πk/5) ≈ 89.999999와 일치하여 정확도를 확인하였다.
• n=3일 때 특수한 경우로 ∑_{k=1}^{⌊p/3⌋} (−1)ᵏ⁻¹ ₍₂ₚ₎ₚ₊₃ₖ = ½ ₍₂ₚ₎ₚ − 3ᵖ⁻¹의 항등식이 회복되며, 이는 탄젠트 합과 알려진 이항계수 항등식을 연결한다.
• Sₙ((n−1)²ᵖ) = ∑_{r≡0 (mod n)} (−1)ˢ⁽ʳ⁾ (r < (n−1)²ᵖ 범위에서)는 2σ(n,p)/n와 같으며, 자릿수 합의 기현수 성질과 탄젠트 거듭제곱 합 사이의 직접적 연결을 확립한다.