[논문 리뷰] Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 미분구조공간에 대해 내부(매끄러운 곡선을 통한 정의)와 외부(함수의 급수의 도함수를 통한 정의) 두 가지의 탄젠트 공간 정의를 제안하고 비교한다. 이는 다양체에서는 일치하지만 일반적인 경우에는 다름을 증명한다. 이전 연구에서 탄젠트 번들의 매끄러움 문제를 수정하고, 스칼라 곱과 덧셈이 매끄럽게 작동하도록 보장하는 개선된 dvs 미분구조를 제안하며, 특히 컴팩트 다양체의 경우 매핑 공간의 탄젠트 번들과 벡터장 공간 사이의 동형관계를 확립한다.

ABSTRACT

We study how the notion of tangent space can be extended from smooth manifolds to diffeological spaces, which are generalizations of smooth manifolds that include singular spaces and infinite-dimensional spaces. We focus on two definitions. The internal tangent space of a diffeological space is defined using smooth curves into the space, and the external tangent space is defined using smooth derivations on germs of smooth functions. We prove fundamental results about these tangent spaces, compute them in many examples, and observe that while they agree for smooth manifolds and many of the examples, they do not agree in general. After this, we recall Hector's definition of the tangent bundle of a diffeological space, and show that both scalar multiplication and addition can fail to be smooth, revealing errors in several references. We then give an improved definition of the tangent bundle, using what we call the dvs diffeology, which ensures that scalar multiplication and addition are smooth. We establish basic facts about these tangent bundles, compute them in many examples, and study the question of whether the fibres of tangent bundles are fine diffeological vector spaces. Our examples include singular spaces, spaces whose natural topology is non-Hausdorff (e.g., irrational tori), infinite-dimensional vector spaces and diffeological groups, and spaces of smooth maps between smooth manifolds (including diffeomorphism groups).

연구 동기 및 목표

• 미분구조공간에 대한 탄젠트 공간 정의를 명확화하고 형식화한다. 이는 매끄러운 다양체를 일반화하며, 특이점이나 무한차원 공간을 포함한다.
• 내부(곡선 기반)와 외부(도함수 기반)의 두 가지 다른 정의를 비교하고, 언제 일치하거나 다를지를 규명한다.
• 이전의 탄젠트 번들 구성에서 발생한 오류를 특정하고 수정한다. 특히 스칼라 곱과 덧셈의 매끄러움 문제에 중점을 둔다.
• dvs 미분구조를 도입하여 탄젠트 번들이 적절한 미분구조공간 벡터 공간이 되도록 보장하는 개선된 구조를 제안한다.
• 특히 컴팩트 다양체의 경우, 매핑 공간의 탄젠트 번들과 벡터장 공간 사이의 동형관계를 확립한다.

제안 방법

• 한 점을 통과하는 매끄러운 곡선들의 동치류를 통해 내부 탄젠트 공간을 정의하여 속도 유사 정보를 포착한다.
• 한 점에서의 실수값 매끄러운 함수의 급수에 대한 매끄러운 도함수를 통해 외부 탄젠트 공간을 정의한다.
• 내부 탄젠트 공간은 차원 ≤2의 플롯에만 의존하는 반면, 외부 탄젠트 공간은 차원 ≤1에만 의존함을 증명한다.
• 탄젠트 번들에 헤크토르 미분구조를 구성하고, 덧셈과 스칼라 곱이 매끄럽지 않을 수 있음을 보인다.
• dvs 미분구조를 도입하여 덧셈과 스칼라 곱이 매끄럽게 작동하도록 보장하는 보다 정교한 탄젠트 번들 위의 미분구조를 제안한다.
• 함자성과 임bedding 기법을 사용하여 컴팩트한 $ X $ 와 매끄러운 $ N $ 에 대해 $ T^{dvs}(C^inity(X,N)) \cong C^inity(X,TN) $ 임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 미분구조공간의 내부 탄젠트 공간과 외부 탄젠트 공간이 일치하는가?
• RQ2 왜 일반적인 미분구조공간에 대한 탄젠트 번들의 표준 구성 방식이 탄젠트 번들을 미분구조공간 벡터 공간으로 만들지 못하는가?
• RQ3 덧셈과 스칼라 곱의 매끄러움을 복구하기 위해 탄젠트 번들 위에 개선된 미분구조를 정의할 수 있는가?
• RQ4 함수 공간 $ C^inity(X,M) $ 의 탄젠트 공간은 $ M $ 상의 벡터장 공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 미분형 군의 탄젠트 번들과 기저 다양체 상의 매끄러운 벡터장 공간 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 내부 탄젠트 공간과 외부 탄젠트 공간은 매끄러운 다양체와 많은 표준 예에서 일치하지만, 일반적으로는 다름을 보이며, 1차원 무리수 토러스와 $ \mathbb{R}^n $ 상의 와이어 미분구조와 같은 반례를 통해 이를 입증한다.
• 1차원 무리수 토러스의 경우 내부 탄젠트 공간은 $ \mathbb{R} $ 이지만, 외부 탄젠트 공간은 $ \mathbb{R}^0 $ 이며, 이는 근본적인 차이를 보여준다.
• 표준적인 헤크토르 구성 방식은 스칼라 곱과 덧셈이 매끄럽지 않음을 보여주며, 이는 여러 이전 논문의 주장에 문제가 있음을 의미한다.
• dvs 미분구조가 도입되었고, 이는 탄젠트 번들이 미분구조공간 벡터 공간가 되도록 보장하며, 스칼라 곱과 덧셈이 매끄럽게 작동함을 보였다.
• 컴팩트한 매끄러운 다양체 $ M $ 에 대해, 미분형 군 $ \mathfrak{Diff}(M) $ 의 항등원에서의 탄젠트 공간은 $ M $ 상의 매끄러운 벡터장 공간과 동형임을 확인하였다. 이는 문헌에서 중요한 결과를 확인한다.
• 컴팩트한 $ D $-위상이 있는 $ X $ 에 대해, $ \gamma: T^{dvs}(C^\infty(X,N)) \to C^\infty(X,TN) $ 는 $ C^\infty(X,N) $ 위의 미분구조공간 벡터 공간 간의 동형사상임을 증명하여 깊이 있는 구조적 동치를 확립한다.