[논문 리뷰] Tannaka duality and convolution for duoidal categories

Thomas Booker, Ross Street|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수평 모노이드 $M$ 위의 이단어 구조와 기저 이중 모노이드 카테고리 ${\cal{F}}$의 수직 모노이드 구조를 끌어올리는 ${\cal{F}}^{*M}$의 오른쪽 $M$-모듈의 카테고리 위의 모노이드 구조 사이의 연결을 통해 이중 모노이드 카테고리에 대한 Tannaka 쌍대 이론 프레임워크를 수립한다. 주요 기여는 ${\cal{F}}$ 내의 이단어 구조의 카테고리의 반대와 ${\cal{F}}$로의 표현 가능한 모노이드 함자들의 카테고리 사이의 이중수반관계를 정의함으로써 고전적인 복합곱과 Day 복합곱을 고르게 통합하는 것으로, 이는 고르게 확장된 카테고리 이론과 내부 함자에 기반한 모노이드 함자 이론을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

Given a horizontal monoid M in a duoidal category F, we examine the relationship between bimonoid structures on M and monoidal structures on the category of right M-modules which lift the vertical monoidal structure of F. We obtain our result using a variant of the Tannaka adjunction. The approach taken utilizes hom-enriched categories rather than categories on which a monoidal category acts ("actegories"). The requirement of enrichment in F itself demands the existence of some internal homs, leading to the consideration of convolution for duoidal categories. Proving that certain hom-functors are monoidal, and so take monoids to monoids, unifies classical convolution in algebra and Day convolution for categories. Hopf bimonoids are defined leading to a lifting of closed structures. Warped monoidal structures permit the construction of new duoidal categories.

연구 동기 및 목표

• 이중 모노이드 카테고리에 대한 Tannaka 쌍대 이론을 개발하여, 두 개의 상호작용 가능한 모노이드 구조를 가진 설정으로 고전 결과를 확장한다.
• 수평 모노이드 $M$ 위의 이단어 구조와 ${\cal{F}}^{*M}$의 $M$-모듈 카테고리 위의 모노이드 구조 사이의 대응관계를 명확히 한다.
• 고르게 확장된 카테고리 이론과 내부 함자에 기반한 일반적인 모노이드 프레임워크를 통해 고전적인 복합곱과 프레샤프에 대한 Day 복합곱을 통합한다.
• 새로운 이중 모노이드 카테고리의 구성에 사용할 수 있는 도구로서 히프 이단어 구조와 왜곡된 모노이드 구조를 도입하고 연구한다.

제안 방법

• 기저 이중 모노이드 카테고리 ${\cal{F}}$에 대한 ${\cal{F}}$-강화된 카테고리의 맥락에서 Tannaka 수반관계의 변종을 사용하여, 모듈 카테고리 간의 모노이드 함자에 중점을 둔다.
• 기저 이중 모노이드 카테고리 ${\cal{F}}$에 강화된 내부 함자들을 사용하여 복합곱을 정의하기 위해 내부 함자를 요구한다.
• 수직 모노이드 구조와 모노이드레의 곱 $\hat{\circ}$를 사용하여, 모노이드 2-카테고리 ${\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}{\cal{F}}$를 구성한다.
• 모노이드에서 표현 가능한 함자로의 강한 모노이드 함자 $\operatorname{mod} : (\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}} \to {\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}_{\operatorname{rep}}{\cal{F}}$를 정의한다.
• $(\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}}$와 표현 가능한 모노이드 함자들의 카테고리 사이의 이중수반관계를 적용하여 쌍대 이론을 도출한다.
• 모노이드 함자 $T$와 모노이드 $K$ 및 일관성 등식 $v$와 $k$를 사용하여 왜곡된 모노이드 구조를 도입함으로써 기존의 모노이드 구조로부터 새로운 이중 모노이드 카테고리를 구성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모노이드 카테고리에서의 Tannaka 쌍대 이론을 두 개의 상호작용 가능한 모노이드 구조를 가진 이중 모노이드 카테고리로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기저 카테고리의 수직 모노이드 구조를 끌어올리는 $M$-모듈 카테고리 ${\cal{F}}^{*M}$가 모노이드 구조를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이중 모노이드 카테고리에서 $M$ 위의 이단어 구조와 ${\cal{F}}^{*M}$ 위의 모노이드 구조 사이의 대응관계는 어떻게 기술되며, 이 대응관계의 정확한 범주론적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 내부 함자와 강화된 카테고리 이론은 이 프레임워크에서 고전적인 복합곱과 Day 복합곱을 어떻게 통합하는가?
• RQ5 기존의 모노이드 구조를 '왜곡'함으로써 새로운 이중 모노이드 카테고리를 체계적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 표현 가능한 모노이드 함자들의 카테고리와 ${\cal{F}}_h$ 내의 이단어 구조의 카테고리의 반대 사이에 이중수반관계가 확립되어, 이단어 구조에 대한 범주론적 쌍대 이론을 제공한다.
• 모노이드 $M$ 위의 이단어 구조와 ${\cal{F}}^{*M}$ 위의 모노이드 구조 사이의 대응관계는 강한 모노이드 함자 $\operatorname{mod}$를 통해 기술되며, 이는 모노이드를 표현 가능한 함자로 매핑한다.
• 강화된 설정에서의 함자들이 모노이드임이 입증되어, 이들이 모노이드 구조를 유지함을 보장하며, 이는 고전적인 복합곱과 Day 복합곱을 통합한다.
• 히프 이단어 구조가 이중 모노이드 설정에서 정의되어, ${\cal{F}}$에서의 닫힘 구조가 ${\cal{F}}^{*M}$로 끌어올려질 수 있게 하며, 히프 대수의 개념을 일반화한다.
• 모노이드 함자 $T$, 모노이드 $K$, 일관성 등식 $v$와 $k$를 사용하여 왜곡된 모노이드 구조가 구성되며, 이는 기존의 이중 모노이드 카테고리로부터 새로운 이중 모노이드 카테고리를 생성한다.
• ${\cal{F}}_h$-Cat에 대한 평가를 사용하여 ${\cal{F}}_h$-카테고리 위의 모노이드레의 구조를 구성함으로써, ${\cal{F}}$가 수평적으로 왼쪽으로 닫혀 있을 경우 ${\cal{F}}_h$가 ${\cal{F}}_h$-카테고리임을 확인한다.