[논문 리뷰] Tannaka duality for comonoids in cosmoi

Daniel Schäppi|ArXiv.org|2009. 11. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 벡수공간 대신 쌍대를 가진 대상으로 대체함으로써, 임의의 코스모이(완전하고 완비이며 대칭적인 모나드 닫힌 측도를 가진 범주)에서의 코모노이드에 대해 Tannaka 쌍대성을 일반화한다. 코모노이드의 표현 범주로부터의 재구성 조건을 필요충분조건으로 설정하고, 특정 코모노이드의 표현과 동치인 범주를 특성화하며, p-진 갈로아 표현 이론에서 중요한 필터링된 모듈의 범주에 결과를 적용한다.

ABSTRACT

A classical result of Tannaka duality is the fact that a coalgebra over a field can be reconstructed from its category of finite dimensional representations by using the forgetful functor which sends a representation to its underlying vector space. There is also a corresponding recognition result, which characterizes those categories equipped with a functor to finite dimensional vector spaces which are equivalent to the category of finite dimensional representations of a coalgebra. In this paper we study a generalization of these questions to an arbitrary cosmos, that is, a complete and cocomplete symmetric monoidal closed category. Instead of representations on finite dimensional vector spaces we look at representations on objects of the cosmos which have a dual. We give a necessary and sufficient condition that ensures that a comonoid can be reconstructed from its representations, and we characterize categories of representations of certain comonoids. We apply this result to certain categories of filtered modules which are used to study p-adic Galois representations.

연구 동기 및 목표

• 체 위의 코알제브라에 대한 고전적 Tannaka 쌍대성을, 코스모이 내의 코모노이드를 포함하는 더 넓은 범주론적 맥락으로 확장한다.
• 코모노이드의 표현 범주에 대해, 이에 대한 忘각 함자(forgetful functor)가 쌍대를 가진 대상으로 가는 조건에서 코모노이드를 재구성할 수 있는 필요충분조건을 규명한다.
• 코스모이에 대한 코모듈의 범주와 동치인, 코스모이로 가는 함자를 지닌 범주를 특성화한다.
• 일반화된 쌍대성을 p-진 호지 이론과 갈로아 표현 이론에서 중요한 필터링된 모듈의 범주에 적용한다.
• 공끝(coend)과 조밀성(density)을 이용하여, 강화된 범주론적 맥락에서 의미-구조의 수반관계와 Tannakian 이수반관계를 수립한다.

제안 방법

• 강화된 범주론에서의 공끝을 사용하여, 표현 함자로부터 코모노이드를 재구성한다. 고전적 코알제브라 재구성 공식 $ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $ 를 일반화한다.
• 코모노이드의 범주와 코스모이에서 쌍대가능한 생성자를 가진 소형 $ \mathscr{V} $-범주의 범주 사이의 의미-구조 수반관계를 활용한다.
• 강화된 조밀성($ \mathscr{V} $-density)과 $ \mathscr{X} $-텐서링된 범주 개념을 적용하여, 함자의 표현 가능성과 쌍대극한(colimit) 구성의 보장 조건을 확보한다.
• 공끝의 보편 성질을 이용하여, 코모노이드의 사상과 표현 함자를 내림리프팅하는 함자 사이의 자연적인 전단사 대응을 수립한다.
• 코모노이드에서 그 코모듈의 범주로 가는 함자에 대한 왼쪽 수반을 구성함으로써 Tannakian 이수반관계를 도입한다.
• 대칭적인 모나드 닫힌 범주에서의 강화된 자연 변환과 일관성 다이어그램(coherence diagram)을 활용하여 재구성의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 코스모이 내의 코모노이드는 쌍대를 가진 대상으로 가는 값의 표현 범주로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ2 쌍대가능한 생성자를 가진 코스모이로 가는 함자를 지닌 어떤 범주는 어떤 코모노이드의 코모듈의 범주와 동치가 되는가?
• RQ3 체 위의 코알제브라에 대한 고전적 Tannaka 쌍대성은 임의의 코스모이로 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 강화된 맥락에서 재구성과 식별 정리의 가능성을 보장하는 데 조밀성과 쌍대가능성의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 이론은 산술기하학에서 중요한 역할을 하는, p-진 갈로아 표현 이론에 사용되는 필터링된 모듈의 범주에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 코스모이 $ \mathscr{V} $ 내의 코모노이드 $ C $ 는 $ \mathscr{V} $ 내의 쌍대가능한 대상의 전체부분범주로 가는 忘각 함자를 지닌 코모듈의 범주 $ \operatorname{Comod}(C) $ 로부터 재구성될 수 있다. 이 경우 표현 함자가 $ \mathscr{V} $-조밀성이고 범주가 소형이면 성립한다.
• 재구성은 공끝 $ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $ 를 통해 이루어지며, $ \omega $ 가 $ \operatorname{Comod}(C) $ 에서의 忘각 함수일 경우 이 공끝은 $ C $ 와 동형인 코모노이드를 형성한다.
• 쌍대가능한 대상으로 가는 값의 $ \mathscr{V} $-선형 함자 $ \omega: \mathscr{A} \to \mathscr{V} $ 는 $ \mathscr{A} $ 가 소형 $ \mathscr{V} $-범주이고, $ \omega $ 가 충실하고 정확하며, $ \omega $ 의 이미지가 쌍대극한에 관해 생성자 역할을 할 경우, $ \operatorname{Comod}(L(\omega)) $ 에서의 忘각 함자와 동치가 된다.
• 의미-구조 수반관계는 코모노이드에서 그 코모듈의 범주로 가는 함자에 대한 왼쪽 수반으로 수립되며, 이 수반의 단위와 쌍단위는 수반의 보편 성질을 만족한다.
• 이 이론은 쌍대와 호환되는 필터링을 가진 모듈의 범주에 적용 가능하며, $ p $-진 갈로아 표현 이론에서 필터링된 $ \mathscr{V} $-코모듈을 통한 Tannakian 프레임워크를 제공한다.
• 조밀한 자동적 생성자 $ \mathscr{X} $ 가 존재할 경우, 모든 프레셰프 $ F \in \mathcal{P}\mathscr{A} $ 는 $ \mathscr{A}/F $ 에서의 타우토로지컬 다이어그램의 콘리컬 쌍대극한(conical colimit)으로 나타나며, 이는 표현 가능성 보장과 함께 재구성 가능성을 보장한다.