[논문 리뷰] Tannaka duality for proper Lie groupoids

Giorgio Trentinaglia|ArXiv.org|2008. 09. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부드럽고 유한차원적인 연속 힐버트 장의 일반화인 부드러운 유클리드 장의 범주를 도입함으로써, 적절한 리 군oids에 대한 Tannaka 쌍대성 정리를 수립한다. 그리고 이러한 장 위에서의 부드러운 표현의 범주로부터 적절한 리 군oids를 재구성할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 군oids를 그 부드러운 유클리드 장 표현의 텐서 범주를 통해 식별하는 재구성 정리로, 고전적인 Tannaka 쌍대성을 부드럽고 비아벨리안이며 기하학적인 적절한 리 군oids의 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The main contribution of this thesis is a Tannaka duality theorem for proper Lie groupoids. This result is obtained by replacing the category of smooth vector bundles over the base manifold of a Lie groupoid with a larger category, the category of smooth Euclidean fields, and by considering smooth actions of Lie groupoids on smooth Euclidean fields. The notion of smooth Euclidean field that is introduced here is the smooth, finite dimensional analogue of the familiar notion of continuous Hilbert field. In the second part of the thesis, ordinary smooth representations of Lie groupoids on smooth vector bundles are systematically studied from the point of view of Tannaka duality, and various results are obtained in this direction.

연구 동기 및 목표

• 리 군oids가 오비폴드와 스택에서 기하학적 대칭을 표현하는 일반화된 리 군을 포함하는 설정으로 Tannaka 쌍대성을 확장한다.
• 벡터 번들의 표현 이론의 한계를 극복하기 위해 더 넓고 더 민첩한 범주인 부드러운 유클리드 장을 도입한다.
• 부드러운 유클리드 장 위에서의 표현의 범주로부터 적절한 리 군oids를 재구성하는 재구성 정리를 수립한다.
• 텐서 범주와 섬유화된 구조를 사용하여 리 군oids의 표현을 연구하는 프레임워크를 제공하며, 오비폴드와 효과적인 군oids에의 응용을 포함한다.
• 적절하고 효과적인 리 군oids가 그 표현 범주로부터 완전히 복원 가능하다는 것을 증명함으로써 고전적인 Tannaka 쌍대성을 일반화한다.

제안 방법

• 부드러운 내적을 지닌 부드러운 유한차원 벡터 번들의 일반화로서, 연속 힐버트 장의 부드러운 해석인 부드러운 유클리드 장의 개념을 도입한다.
• 리 군oids가 부드러운 유클리드 장 위에서 작용하는 방식을 정의하여, 고전적인 벡터 번들의 표현을 일반화한다.
• 리 군oids의 기저 다양체 위에서의 부드러운 유클리드 장의 섬유화된 텐서 범주를 구성하며, 그와 호환되는 군oids 작용을 갖춘다.
• 텐서 함자와 섬유 함자의 이론을 사용하여 적절한 리 군oids의 표현 범주를 기하학적 구조와 연결한다.
• 부드러운 유클리드 장 표현의 범주가 충실한 섬유 함자를 지닌 강한 리만-텐서 범주이며, Tannaka 재구성의 조건을 만족함을 증명한다.
• 원래의 리 군oids가 섬유 함자의 텐서 자기동형사상 군oids와 동형임을 보여주는 재구성 정리를 수립한다. 이는 적절성과 효과성 조건 하에 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤���한 군에서부터 더 일반적인 기하학적 대상인 적절한 리 군oids로 Tannaka 쌍대성을 확장할 수 있는가?
• RQ2 리 군oids의 표현 범주를 어떻게 강화하여 군oids를 완전히 재구성할 수 있는가?
• RQ3 특히 비아벨리안이고 적절한 설정에서, Tannaka 쌍대성에 있어서 부드러운 벡터 번들의 적절한 대체물은 무엇인가?
• RQ4 어떤 조건에서 적절한 리 군oids가 부드러운 유클리드 장 위의 부드러운 표현의 범주로부터 재구성 가능한가?
• RQ5 부드러운 유클리드 장의 개념이 리 군oids와 스택의 맥락에서 Tannaka 유형의 쌍대성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 적절한 리 군oids의 부드러운 유클리드 장 표현의 범주는 충실한 섬유 함자를 지닌 강한 리만-텐서 범주이며, Tannaka 쌍대성의 공리를 만족한다.
• 적절한 리 군oids는 부드러운 유클리드 장 위에서의 섬유 함자의 텐서 자기동형사상 군oids와 동형이며, 이는 완전한 재구성 결과를 보여준다.
• 적절하고 효과적인 리 군oids의 표준 표현은 그의 접선 번들 위에서 충실하므로, 군oids의 작용에 대한 기하학적 실현을 제공한다.
• 적절하고 효과적인 리 군oids의 범주는 오비폴드와 관련된 리 군oids의 범주와 약한 동치를 이룬다. 이는 결과가 오비폴드 기하학과 관련이 있음을 보여준다.
• 부드러운 유클리드 장 이론은 고전적인 벡터 번들의 표현을 초월하여 Tannaka 쌍대성을 일반화할 수 있게 하며, 고전적 표현이 충실하지 않은 경우에도 재구성을 가능하게 한다.
• 이 이론은 전역 몫공간에 대해 성립하며, 약한 동치에 대해 보존되므로 스택 이론적 맥락에서 강건함을 보인다.