[논문 리뷰] Tannaka-Krein duality for compact groupoids II, Fourier transform

Massoud Amini|ArXiv.org|2003. 08. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 군oids로의 Tannaka-Krein 쌍대성의 일반화를 위해 비아벨리언 푸리에 변환을 개발하고, 군oids 위의 $L^2$-함수에 대한 플랑커렐 정리를 증명한다. $L^2(\tilde{\frak{G}})$와 $L^2(\frak{G})$ 사이의 등거리 동형사상이 수립되며, 이는 $\tilde{\frak{G}}$가 기약 표현의 쌍대 공간임을 감안할 때 성립한다. 또한, 이소트로피 군oids 위의 중심 함수에 대해 플랑커렐 정리의 대각형 버전을 증명한다.

ABSTRACT

In a series of papers, we have shown that from the representation theory of a compact groupoid one can reconstruct the groupoid using the procedure similar to the Tannaka-Krein duality for compact groups. In this part we study the Fourier and Fourier-Plancherel transforms and prove the Plancherel theorem for compact groupoids. We also study the central functions in the algebra of square integrable functions on the isotropy groups.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 군oids로의 푸리에 및 플랑커렐 정리를 컴팩트 군oids로 일반화하기.
• Banach 대수층 $L^1(\frak{G})$ 위에 푸리에 변환을 정의하고, 이를 $L^2(\frak{G})$로 확장하기.
• $L^2(\frak{G})$와 기약 표현의 쌍대 공간인 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 사이의 전사 등거리 동형사상을 수립하기.
• 특히 이소트로피 군oids $\frak{G}'$에서의 중심 함수와 중심 원소를 연구하기.
• 공轭류 집합 ${\frak{G}'}^{\frak{G}}$ 위에서 중심 함수에 대해 플랑커렐 정리의 대각형 버전을 증명하기.

제안 방법

• 모든 $f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$에 대해, $\mathfrak{F}_{u,v}(f)(\pi) = \int_{\mathcal{G}_u^v} f(x) \pi(x^{-1}) d\lambda_u^v(x)$ 로 정의된 푸리에 변환을 정의하며, 이는 $\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$로 사상한다.
• 무한대에서 사라지는 연속 섹션인 $C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$로 구성된 전역 푸리에 변환 $\mathfrak{F}(f)$를 구성한다.
• $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$에 대해 $\check{g}(x) = \sum_{\pi \in \hat{\frak{G}}} d_u^\pi g(\pi) \overline{\chi_v^\pi(x)}$ 로 정의된 역 푸리에 변환 $\check{g}$를 정의한다.
• $C_c(\hat{\frak{G}})$에 내적 $\langle g,h \rangle = \sum_{\pi} (d_u^\pi)^2 \overline{g(\pi)} h(\pi)$ 를 부여하여 힐버트 공간의 구조를 정의한다.
• 역 푸리에 변환 $\check{}$ 가 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 에서 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$, 즉 공轭류 군oids 위의 제곱-integrable 함수들의 공간으로 유일하게 등거리 변환으로 확장됨을 증명한다.
• 중심 원소 $L^2(\frak{G})$ 는 공轭에 관하여 불변인 함수로 특성화되며, $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \simeq \mathfrak{C}L^2(\frak{G}')$ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에 변환은 컴팩트 군에서 컴팩트 군oids로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기약 표현의 쌍대 공간 $\hat{\frak{G}}$ 의 구조는 무엇이며, 이는 공轭류 군oids $\frak{G}^{\frak{G}}$ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 플랑커렐 정리는 컴팩트 군oids로 확장될 수 있으며, 중심 함수의 경우 그 형태는 어떠한가?
• RQ4 스펙트럼 측도 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ 는 쌍대성과 등거리성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 역 푸리에 변환과 플랑커렐 등거리성은 중심 함수의 부분대수 위에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 푸리에 변환 $\mathfrak{F}_{u,v}(f)$ 는 $f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$ 를 $\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$ 로 사상하는 적분 연산자로 정의되며, 이는 $C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$ 에서의 연속 섹션을 이룬다.
• 역 푸리에 변환 $\check{g}$ 는 $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$ 에 대해 $\check{g} * f = f * \check{g}$ 를 만족하며, 이는 복합 연산과 가환함을 보여준다.
• 역 푸리에 변환 $\check{}$ 는 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 에서 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$, 즉 공轭류 군oids 위의 제곱-integrable 함수들의 공간으로 유일하게 전사 선형 등거리 변환으로 확장된다.
• 대각형 플랑커렐 정리가 성립한다: $\hat{}: L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \to L^2(\hat{\frak{G}})$ 는 $\check{}$ 의 역함수이며, $\langle \check{g}, \check{h} \rangle = \langle g, h \rangle$ 이다.
• 중심 원소의 공간 $\mathfrak{C}L^2(\frak{G})$ 는 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$ 와 등거리 동형이며, 이 동형사상은 자연스러운 사영 $q: \frak{G}' \to {\frak{G}'}^{\frak{G}}$ 에 의해 유도된다.
• 스펙트럼 측도 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ 는 $C_c(\hat{\frak{G}})$ 위의 내적을 정의하는 데 사용되며, 플랑커렐 등거리성이 노름을 유지함을 보장한다.