[논문 리뷰] Tannaka theory and the FRT construction over non-commutative algebras

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Tannaka 유형의 dualit를 통해 비가환 대수에 대한 FRT 구성법을 일반화한다. 구체적으로, 대수 $A$ 위의 coquasitriangular left bialgebroid를 도입하여 bimonad과 bialgebroid에 대한 Tannaka 유형의 dualit를 수립한다. $A$-bimodule에서의 브레인드된 객체 $(M,c)$를 바탕으로 bialgebroid를 구성하며, 이때 $M$은 $A$에 대해 유한 생성 및 프로젝티브라고 가정한다. 이로 인해 유도된 comodule의 범주는 브레인딩을 갖게 되고, 이 구성법은 Hayashi의 face 대수를 FRT bialgebroid의 coposed 형태로 복원함을 보인다.

ABSTRACT

Let $A$ be an algebra over a commutative ring $k$. We introduce the notion of a coquasitriangular left bialgebroid over $A$ and show that the category of left comodules over such a bialgebroid has a braiding. We also investigate a Tannaka type construction of bimonads and bialgebroids. As an application, the Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) construction over the algebra $A$ is established. Our construction associates a coquasitriangular bialgebroid to a braided object $(M, c)$ in the category of $A$-bimodules such that $M$ is finitely generated and projective as a left $A$-module. A Hopf algebroid version of this construction is also provided.

연구 동기 및 목표

• 비가환 대수 $A$에 대한 Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) 구성법을 Tannaka dualit를 통해 일반화한다.
• 대수 $A$ 위의 coquasitriangular left bialgebroid를 정의하고, 그 comodule 범주가 브레인딩을 갖는지 연구한다.
• 브레인딩된 객체 $(M,c)$를 ${}_A\mathfrak{M}_A$에서 유한 생성 및 프로젝티브인 $M$을 갖는 조건에서, bimonad과 bialgebroid에 대한 Tannaka 유형의 구성법을 수립한다.
• 유도된 bialgebroid가 universal R-form을 갖는다는 것을 보이고, Hayashi의 face 대수와 같은 기존의 구성법을 복원함을 보인다.

제안 방법

• 작은 모나드 범주 $\mathcal{D}$와 강한 모나드 함자 $\omega: \mathcal{D} \to {}_A\mathfrak{M}_A$로 구성된 구성 데이터 $(\mathcal{D}, \omega)$를 도입하며, $\mathcal{D}$의 모든 $x$에 대해 $\omega(x)$가 우측 쌍대를 갖는다.
• 모듈 $M \in {}_A\mathfrak{M}_A$에 대해 $T(M) = \int^{x \in \mathcal{D}} \omega(x) \otimes M \otimes \omega(x)^\vee$ 를 정의하고, 이는 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 위의 bimonad로 확장된다.
• Tannaka 스타일의 재구성 기법을 사용하여 $T$에 bimonad의 구조를 도입하고, $T$-comodule의 범주는 $T$-모듈에서 ${}_A\mathfrak{M}_A$로의 忘却 함자에 대한 왼쪽 약한 중심자와 이sov를 보장한다.
• 브레인딩 $c$를 표현하는 관계를 포함하는 자유 $A^e$-환 $T_{A^e}(G)$ 위에서 생성자 $T^p_q, \overline{T}^p_q$를 몰입하여 FRT bialgebroid $H(M,c)$를 구성한다.
• 유도된 bialgebroid를 Hayashi의 face 대수 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$의 coposed 형태와 동형 사상으로 연결하며, 코링의 구조를 유지하는 대수 동형사를 통해 확인한다.
• H(M,c) 위의 universal R-form이 $H(M,c)$-comodule의 범주에 약한 브레인딩을 유도함을 검증하여, 이 범주가 브레인딩을 갖는다는 것을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 기저 대수 $A$에 대해 FRT 구성법을 일반화할 수 있으며, comodule의 범주가 브레인딩을 유지할 수 있는가?
• RQ2 브레인딩된 객체 $(M,c)$를 ${}_A\mathfrak{M}_A$에서 유한 생성 및 프로젝티브인 $M$을 갖는 조건에서, bialgebroid에 대한 Tannaka 유형의 구성법이 존재하는가?
• RQ3 FRT bialgebroid에 universal R-form이 존재하여 comodule의 범주가 브레인딩을 갖는가?
• RQ4 경로 쿼웨이브와 쌍대 가능성이 있는 브레인딩된 객체의 경우, FRT bialgebroid는 Hayashi의 face 대수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Tannaka 구성법은 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 위의 bimonad $T$를 유도하며, 이에 따라 $T$-comodule의 범주는 $T$-모듈에서 ${}_A\mathfrak{M}_A$로의 忘却 함자에 대한 왼쪽 약한 중심자와 이sov가 성립한다.
• $\mathcal{D}$가 우측 강한 카테고리일 경우 $T$는 왼쪽 Hopf 모나드가 되고, $\mathcal{D}$가 좌측 강한 카테고리일 경우 $T$는 오른쪽 Hopf 모나드가 된다.
• $\mathcal{D}$가 약한 브레인딩을 갖는다면, $T$-comodule의 범주는 약한 브레인딩을 상속한다.
• FRT bialgebroid $H(M,c)$는 브레인딩 $c$를 표현하는 관계를 포함하는 $T_{A^e}(G)$의 몫으로 구성되며, 이는 comodule 범주가 브레인딩을 갖도록 하는 universal R-form을 지닌다.
• FRT bialgebroid $H(M,c)$는 왼쪽 bialgebroid로서 Hayashi의 face 대수 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$의 반대형과 동형이다.
• 구성법은 $H(M,c)$ 위의 universal R-form이 원래의 브레인딩 $c$를 복원함을 보여주며, 이에 따라 $M$은 $H(M,c)$-comodule로서의 표준 구조를 가지며, 이에 따라 유도된 브레인딩이 $c$가 된다.