[논문 리뷰] Tarski's Theorem, Supermodular Games, and the Complexity of Equilibria

Kousha Etessami, Christos H. Papadimitriou외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 07.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 격자 위의 단조 함수에서 Tarski 정리에 의해 보장되는 고정점을 찾는 계산 복잡도와 초모듈러 게임 및 스토하스틱 게임에 대한 영향을 조사한다. 이는 고정점을 찾는 것이 PLS 및 PPAD에 속하며, 2차원에서 Ω(log²N) 쿼리가 필요함을 입증하며(상한 O(log²N)과 일치함), 최대 또는 최소 고정점을 찾는 것은 NP-난이도임을 보여준다. 이 작업은 Tarski의 고정점 정리와 게임 이론 및 검증의 핵심 문제 사이에 깊은 연결을 드러낸다.

ABSTRACT

The use of monotonicity and Tarski's theorem in existence proofs of equilibria is very widespread in economics, while Tarski's theorem is also often used for similar purposes in the context of verification. However, there has been relatively little in the way of analysis of the complexity of finding the fixed points and equilibria guaranteed by this result. We study a computational formalism based on monotone functions on the $d$-dimensional grid with sides of length $N$, and their fixed points, as well as the closely connected subject of supermodular games and their equilibria. It is known that finding some (any) fixed point of a monotone function can be done in time $\log^d N$, and we show it requires at least $\log^2 N$ function evaluations already on the 2-dimensional grid, even for randomized algorithms. We show that the general Tarski problem of finding some fixed point, when the monotone function is given succinctly (by a boolean circuit), is in the class PLS of problems solvable by local search and, rather surprisingly, also in the class PPAD. Finding the greatest or least fixed point guaranteed by Tarski's theorem, however, requires $d\cdot N$ steps, and is NP-hard in the white box model. For supermodular games, we show that finding an equilibrium in such games is essentially computationally equivalent to the Tarski problem, and finding the maximum or minimum equilibrium is similarly harder. Interestingly, two-player supermodular games where the strategy space of one player is one-dimensional can be solved in $O(\log N)$ steps. We also observe that computing (approximating) the value of Condon's (Shapley's) stochastic games reduces to the Tarski problem. An important open problem highlighted by this work is proving a $Ω(\log^d N)$ lower bound for small fixed dimension $d \geq 3$.

연구 동기 및 목표

• 유한 격자 위의 단조 함수에서 Tarski의 정리에 의해 보장되는 고정점의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 초모듈러 게임의 균형을 계산하는 복잡도와 Tarski의 고정점 문제와의 연결 고리 조사.
• Shapley와 Condon의 스토하스틱 게임의 가치 계산 문제에서 Tarski 고정점 문제로의 축소를 탐색하는 것.
• 특히 2차원에서 블랙박스 모델의 랜덤 알고리즘에 대해 쿼리 복잡도의 날카운 하한을 확립하는 것.
• Tarski 문제의 정확한 복잡도 클래스(PLS, PPAD, CLS, EOPL)를 규명하는 것.

제안 방법

• 고정점 찾기의 쿼리 복잡도를 분석하기 위해 블랙박스 오라클 모델을 사용한다. 단조 함수 f: [N]^d → [N]^d의 고정점을 찾는다.
• 단조성의 특성을 활용하여 d번째 좌표에 대해 재귀적 이진 탐색 알고리즘을 적용함으로써 차원을 감소시키며, O(log^d N) 시간 복잡도를 달성한다.
• 2차원에서 하한을 확보하기 위해 '해리본(herringbone)' 함수를 도입하며, 랜덤 알고리즘이 Ω(log²N)의 기대 쿼리 수가 필요함을 증명한다.
• 디스cretization과 수축 사상 기법을 통해 Shapley의 할인 스토하스틱 게임의 가치 벡터 근사 문제를 Tarski 고정점 문제로 축소한다.
• Condon의 단순 스토하스틱 게임의 가치 계산 문제를 Tarski 문제로 축소하기 위해, 이산 격자 위에서 단조적이며 다항시간으로 계산 가능한 함수를 구성한다.
• Tarski 문제가 PLS(국소 탐색)와 PPAD(Brouwer 유사 고정점 문제) 양쪽 모두에 속함을 입증하며, 회로 기반의 압축 표현을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙박스 모델에서 d차원 격자 위의 단조 함수의 고정점을 찾는 데 필요한 쿼리 복잡도는 얼마인가?
• RQ2 3차원 이상의 차원(d ≥ 3)에서 고정점 계산의 O(log^d N) 상한을 달성할 수 있는 하한이 존재하는가?
• RQ3 CLS나 EOPL와 같은 알려진 총 탐색 복잡도 클래스에 대해 Tarski 고정점 문제의 완전성은 성립하는가?
• RQ4 어느 고정점이라도 찾는 것과 비교해 최대 또는 최소 고정점을 찾는 데의 복잡도는 어떻게 다른가?
• RQ5 스토하스틱 게임의 가치 계산 문제를 Tarski 고정점 문제로 얼마나 잘 축소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 블랙박스 모델에서, 어떤 랜덤 알고리즘도 Tarski 고정점을 찾기 위해 기대값으로 Ω(log²N) 쿼리가 필요하며, 이는 O(log²N) 상한과 정확히 일치한다.
• Tarski 고정점 문제는 PLS와 PPAD 양쪽 모두에 포함되어 있으며, 이는 총 함수 복잡도 이론에서 두 주요 클래스 간의 놀라운 연결 고리를 드러낸다.
• 최대 또는 최소 고정점을 찾는 것은 화이트박스 모델에서 NP-난이도이며, 블랙박스 모델에서는 Ω(dN) 시간이 필요하다.
• Shapley의 할인 스토하스틱 게임의 가치를 ϵ 이내의 덧셈 오차로 계산하는 것은 Tarski 문제로 다항시간 축소가 가능하다.
• Condon의 단순 스토하스틱 게임의 정확한 가치 계산도 Tarski 문제로 다항시간 축소가 가능하다.
• 한 명의 플레이어가 1차원 전략 공간을 가지는 이인 초모듈러 게임에서는 나시 균형을 O(log N) 시간 내에 계산할 수 있다.