[논문 리뷰] Tau function and Virasoro action for the nxn KdV hierarchy

Chuu-Lian Terng, Karen Uhlenbeck|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 19.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n\times n$ KdV 계열에 대해 기하학적 프레임워크를 수립한다. 여기서 $\ln\tau_f$의 두 번째 편미분은 형식적 역산역 해법 $u_f$를 재구성하며, $\ln\tau_f$에 대한 자연스러운 비라소로 작용은 편미분 연산자로 실현된다. 또한 $n\times n$ KdV 계열과 게르파인드-딕비(Gelfand-Dickey, GD$_n$) 계열 사이의 전단사 관계를 증명하여, 이 등가성 하에서 두 계열의 비라소로 작용이 상응함을 보인다.

ABSTRACT

This is the third in a series of papers attempting to describe a uniform geometric framework in which many integrable systems can be placed. A soliton hierarchy can be constructed from a splitting of an infinite dimensional group $L$ as positive and negative subgroups L_+, L_- and a commuting sequence in the Lie algebra of L_+. Given f in L_-, there is a formal inverse scattering solution u_f of the hierarchy. When there is a 2 co-cycle that vanishes on both subalgebras of L_+ and L_-, Wilson constructed for each f in L_- a tau function tau_f for the hierarchy. In this third paper, we prove the following results for the nxn KdV hierarchy: (1) The second partials of ln(tau_f) are differential polynomials of the formal inverse scattering solution u_f. Moreover, u_f can be recovered from the second partials of ln(tau_f). (2) The natural Virasoro action on ln(tau_f) constructed in the second paper is given by partial differential operators in ln(tau_f). (3) There is a bijection between phase spaces of the nxn KdV hierarchy and the Gelfand-Dickey (GD_n) hierarchy on the space of order n linear differential operators on the line so that the flows in these two hierarchies correspond under the bijection. (4) Our Virasoro action on the nxn KdV hierarchy is constructed from a simple Virasoro action on the negative group. We show that it corresponds to the known Virasoro action on the GD_n hierarchy under the bijection.

연구 동기 및 목표

• 통합된 기하학적 프레임워크를 통합계열, 특히 $n\times n$ KdV 계열에 대해 수립하기.
• 형식적 역산역 해법 $u_f$가 $\ln\tau_f$의 두 번째 편미분으로 재구성될 수 있음을 증명하기.
• 자연스러운 비라소로 작용이 $\ln\tau_f$에 대해 편미분 연산자 시스템으로 실현됨을 보여주기.
• $n\times n$ KdV 계열의 위상공간과 차수 $n$ 선형 미분 연산자 공간 사이의 전단사 관계를 수립하여, 이와 게르파인드-딕비(Gelfand-Dickey, GD$_n$) 계열과 연결하기.
• 이 전단사 관계 하에서 $n\times n$ KdV 계열의 비라소로 작용이 GD$_n$ 계열의 알려진 비라소로 작용과 상응함을 증명하기.

제안 방법

• 루프 군 $L(SL(n,\mathbb{C}))$를 양성 및 음성 부분군 $L_+$와 $L_-$로 분해하고, 이에 대응하는 리 대수 $\mathcal{L}_+$와 $\mathcal{L}_-$를 사용한다.
• 2-코호몰로지가 $\mathcal{L}_+$와 $\mathcal{L}_-$ 양쪽에서 0이 되는 조건을 만족시키는 코호몰로지에 기반해, $f \in L_-$에 대해 타우 함수 $\tau_f$를 윌슨의 방법으로 구성한다.
• 게이지 등가성과 드린펠트-소코로프 몫 흐름을 활용해 $n\times n$ KdV 계열을 게르파인드-딕비 계열과 연결한다.
• 게이지 작용의 교차단면을 구성하고, 교차단면 흐름을 정의하여 계열의 구조를 분석한다.
• 감소된 프레임과 감소된 프레임 $M$ 위에서 비라소로 대수의 작용을 이용해 $\ln\tau_f$ 위의 비라소로 벡터장들을 유도한다.
• 전단사 사상 $\hat{\Psi}$를 통해 $n\times n$ KdV 계열과 GD$_n$ 계열 간의 관계를 수립하고, 이에 따라 유도된 비라소로 작용이 서로 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식적 역산역 해법 $u_f$는 $\ln\tau_f$의 두 번째 편미분으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 $\ln\tau_f$에 대한 자연스러운 비라소로 작용은 편미분 연산자 시스템으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $n\times n$ KdV 계열의 위상공간과 차수 $n$ 선형 미분 연산자 공간 사이에 전단사 관계가 존재하는가? 이 관계 하에서 흐름이 상응하는가?
• RQ4 이 전단사 관계 하에서 $n\times n$ KdV 계열의 비라소로 작용은 GD$_n$ 계열의 알려진 비라소로 작용과 상응하는가?
• RQ5 $n\times n$ KdV 계열의 비라소로 작용은 음성 군 $L_-$의 작용으로 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• $\ln\tau_f$의 두 번째 편미분은 형식적 역산역 해법 $u_f$에 대한 미분다항식이며, $u_f$는 이 편미분들로부터 완전히 복원될 수 있다.
• $\ln\tau_f$에 대한 자연스러운 비라소로 작용은 $\ln\tau_f$에 작용하는 편미분 연산자 시스템으로 실현되며, 이는 기하학적 실현 가능성의 확인이다.
• 위상공간과 차수 $n$ 선형 미분 연산자 공간 사이에는 자연스러운 전단사 관계가 존재하며, 이 관계 하에서 두 계열의 흐름이 상응한다.
• $n\times n$ KdV 계열은 게르파인드-딕비(Gelfand-Dickey, GD$_n$) 계열과 게이지 등가이며, 한 계열의 해를 다른 계열의 해로 알고리즘적으로 변환할 수 있다.
• 전단사 사상 $\hat{\Psi}$ 하에서, $n\times n$ KdV 계열의 비라소로 작용은 GD$_n$ 계열의 잘 알려진 비라소로 작용과 정확히 일치한다.
• 감소된 프레임 $M$ 위의 비라소로 벡터장들은 $\hat{\Gamma}$의 작용으로부터 도출되며, 이로 유도된 표현은 GD$_n$ 계열의 비라소로 작용의 알려진 형태와 정확히 일치한다.