[논문 리뷰] Tauberian constants associated to centered translation invariant density bases

Paul Hagelstein, Ioannis Parissis|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Magnetism in coordination complexes인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 중심 이동 불변 미분 기저가 밀도 기저가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다: 그러한 기저가 밀도 기저일 필요가 있고 충분한 조건은, 모든 0 < α < 1에 대해, 직경이 r 미만인 집합들과 관련된 Tauberian 상수 CBr(α)가 유한해지는 r > 0가 존재하는 것이다. 저자들은 또한 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CBr(α)를 동시에 유한하게 유지할 수 있는 단일한 r > 0가 존재하지 않음을 보여주는 반례를 구성하여, 중심 기저에 대한 적분의 미분 이론에서 핵심적인 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

This paper provides a necessary and sufficient condition on Tauberian constants associated to a centered translation invariant differentiation basis so that the basis is a density basis. More precisely, given $x \in \mathbb{R}^n$, let $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ be a collection of bounded open sets in $\mathbb{R}^n$ containing $x$. Suppose moreover that these collections are translation invariant in the sense that, for any two points $x$ and $y$ in $\mathbb{R}^n$ we have that $\mathcal{B}(x + y) = \{R + y : R \in \mathcal{B}(x)\}.$ Associated to these collections is a maximal operator $M_{\mathcal{B}}$ given by $$M_{\mathcal{B}}f(x) :=\sup_{R \in \mathcal{B}(x)} \frac{1}{|R|} \int_R |f|.$$ The Tauberian constants $C_{\mathcal{B}}(\alpha)$ associated to $M_{\mathcal{B}}$ are given by $$C_{\mathcal{B}}(\alpha) :=\sup_{E \subset \mathbb{R}^n \atop 0 < |E| < \infty} \frac{1}{|E|}|\{x \in \mathbb{R}^n :\, M_{\mathcal{B}}\chi_E(x) > \alpha\}|.$$ Given $0 < r < \infty$, we set $\mathcal{B}_r(x) :=\{R \in \mathcal{B}(x) : \mathrm{diam } R < r\}$, and let $\mathcal{B}_r :=\cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}_r (x).$ We prove that $\mathcal{B}$ is a density basis if and only if, given $0 < \alpha < \infty$, there exists $ r = r(\alpha) >0$ such that $C_{\mathcal{B}_r}(\alpha) < \infty$. Subsequently, we construct a centered translation invariant density basis $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ such that there does not exist any $0 < r$ satisfying $C_{\mathcal{B}_{r}}(\alpha) < \infty$ for all $0 < \alpha < 1$.

연구 동기 및 목표

• 중심 이동 불변 미분 기저가 밀도 기저가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 확립하는 것.
• 중심 이동 불변 밀도 기저의 맥락에서, 모든 0 < α < 1에 대해 CBr(α) < ∞를 만족하는 일관된 r > 0가 존재하는지 여부라는 열린 문제를 해결하는 것.
• 모든 r > 0와 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CBr(α) = ∞가 되는 중심 이동 불변 밀도 기저의 반례를 제시하는 것.
• 고전적 Busemann-Feller 정리를 중심 이동 불변 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 중심 이동 불변 기저 B에 관련된 최대 연산자 MB를 정의한다. 여기서 MBf(x) = sup_{R∈B(x)} (1/|R|) ∫_R |f|이다.
• Tauberian 상수 CB(α) = sup_{0<|E|<∞} (1/|E|) |{x : MBχE(x) > α}|를 도입한다.
• 각 r > 0에 대해, B에 속한 직경이 r 미만인 집합들의 집합 Br을 정의하고, 관련된 Tauberian 상수 CBr(α)를 고려한다.
• CBr(α) = ∞이면, 거의 모든 곳에서 MBrχE > α를 만족하는 유한 측도를 가진 집합 E를 Borel-Cantelli 추론을 통해 구성함으로써 필요성을 증명한다.
• 기하학적 추론과 Stein-Nikishin 이론을 활용하여 최대 함수의 행동을 제어함으로써 충분성을 증명한다.
• CBr(α) = ∞가 모든 r > 0와 모든 α ∈ (0,1)에 대해 성립하는 중심 이동 불변 기저의 구체적 예를 구성함으로써, 조건의 비균일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심 이동 불변 미분 기저가 밀도 기저가 되기 위한 필요 및 충분 조건은, 잘라낸 기저의 Tauberian 상수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 중심 이동 불변 설정에서, 모든 α ∈ (0,1)에 대해 어떤 r > 0에 대해 CBr(α) < ∞가 일관되게 성립할 수 있는가?
• RQ3 고전적 Busemann-Feller 정리는 중심 이동 불변 경우로 확장될 수 있으며, 만약 그렇다면 조건은 어떻게 다를까?
• RQ4 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CBr(α) < ∞를 보장하는 단일한 r > 0가 존재하지 않는 중심 이동 불변 밀도 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이동 불변 Busemann-Feller 기저에서 CB(1/2) < ∞이지만 어떤 α ∈ (0,1)에 대해 CB(α) = ∞일 수 있는가?
• RQ6 이동 불변 Busemann-Feller 기저에서 CB(1/2) < ∞이면, 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CB(α) < ∞여야 하는가?

주요 결과

• 중심 이동 불변 미분 기저 B가 밀도 기저일 필요가 있고 충분한 조건은, 모든 0 < α < 1에 대해 r = r(α) > 0가 존재하여 CBr(α) < ∞가 되는 것이다.
• 기저가 동형변환 불변이 아니더라도, 어떤 r > 0에 대해 CBr(α) < ∞인 조건은 B가 밀도 기저가 되기 위한 필요 및 충분 조건이다.
• B가 중심 이동 불변 밀도 기저이지만 모든 r > 0와 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CBr(α) = ∞인 반례가 구성되었으며, 이는 일관된 r가 존재하지 않음을 보여준다.
• 구성된 기저에 대해 모든 r > 0와 모든 α ∈ (0,1)에 대해 CBr(α) = ∞이므로, Tauberian 조건이 α에 대해 균일하게 유한하게 유지될 수 없음을 입증한다.
• 이 예시 기저는 최대 연산자가 강한 유형 (p,p) 또는 비자명한 약한 유형 추정을 만족하지 않는 중심 이동 불변 밀도 기저로서, 처음으로 알려진 예이다.
• 결과적으로, 중심 이동 불변 기저에 대한 de Guzman 문제의 유사판에 대한 답은 부정적임을 시사하며, 그러한 일관된 r가 존재하지 않기 때문이다.