[논문 리뷰] Taylor expansions of solutions of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 브라운 운동에 의해 구동되는 확률적 편미분 방정식(SPDE)의 해에 대한 고차수 확률적 테일러 전개를 유도하는 새로운 접근법을 제시한다. 이는 반세마르팅글레의 성질이 없어 이토 공식을 만족하지 못하는 경우에 해당한다. 고전적 테일러 전개를 비선형 계수에 적용하고, 온화한 해 표현식을 반복적으로 대입하며, 확률적 트리와 웅덩이와 같은 조합 구조를 활용함으로써, 확률적 미적분학에 의존하지 않고도 임의의 고차수 전개를 가능하게 하며, 수치적 방법에 대한 정밀한 오차 추정치를 도출한다.

ABSTRACT

The solutions of parabolic and hyperbolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by an infinite dimensional Brownian motion, which is a martingale, are in general not semi-martingales any more and therefore do not satisfy an It\^o formula like the solutions of finite dimensional stochastic differential equations (SODEs). In particular, it is not possible to derive stochastic Taylor expansions as for the solutions of SODEs using an iterated application of the It\^o formula. However, in this article we introduce Taylor expansions of solutions of SPDEs via an alternative approach, which avoids the need of an It\^o formula. The main idea behind these Taylor expansions is to use first classical Taylor expansions for the nonlinear coefficients of the SPDE and then to insert recursively the mild presentation of the solution of the SPDE. The iteration of this idea allows us to derive stochastic Taylor expansions of arbitrarily high order. Combinatorial concepts of trees and woods provide a compact formulation of the Taylor expansions.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE의 해에 대해 고차수 테일러 전개를 개발하는 것. 이는 반세마르팅글레가 아니므로 표준 이토 미적분학이 적용되지 않는다.
• 무한차원 SPDE에서 이토 공식의 실패를 극복하기 위해, 스토하스틱 적분 규칙에 의존하지 않는 대체 전개 프레임워크를 도입하는 것.
• 비선형 계수의 고전적 테일러 전개와 온화한 해 형태의 반복 대입을 통해 임의의 고차수 전개를 체계적이고 조합적으로 유도하는 방법을 제공하는 것.
• 구동 노이즈와 계수의 부드러움에 대한 최소한의 가정 하에 전개의 나머지 항에 대한 엄밀한 오차 추정치를 수립하는 것.
• 더 높은 차수의 수치적 방법을 구성하기 위한 이론적 기반을 마련하는 것. 이는 기존의 선형 은자 스킴보다 향상된 수렴 속도를 기대할 수 있다.

제안 방법

• SPDE의 비선형 이동항 F와 확산항 B 계수에 고전적 테일러 전개를 적용하여 해 과정을 중심으로 전개한다.
• SPDE 해의 온화한 적분 형태를 F와 B의 테일러 전개에 반복적으로 대입하여 고차수 항을 생성한다.
• 복잡한 반복 전개 항을 압축적으로 표현하고 정리하기 위해, 특히 스토하스틱 트리와 웅덩이를 포함한 조합 구조를 활용한다.
• 무한차원에서의 버크홀더-데이비스-군디 부등식을 적용하여 전개 과정에서 발생하는 스토하스틱 적분의 Lp노름을 제어한다.
• 반세마그룹 e^{At}의 정(regularity), 연산자의 힐베르트-슈미트 노름, 계수에 대한 호일더 유사 추정치를 활용하여 나머지 항의 오차 한계를 유도한다.
• S-트리의 노드 수에 대한 귀납법을 적용하여 전개 항의 Lp-추정치를 증명하고, 수렴 차수를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해가 반세마르팅글레가 아니며 따라서 이토 공식이 적용되지 않는 경우, 무한차원 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE에 대해 고차수 확률적 테일러 전개를 도출할 수 있는가?
• RQ2 스토하스틱 체인 룰이나 이토 공식에 의존하지 않고 이러한 전개를 구성하기 위한 대체 방법은 무엇인가?
• RQ3 SPDE 해의 반복적 구조를 어떻게 활용하여 임의의 고차수 전개를 생성할 수 있는가?
• RQ4 고차수 SPDE 전개에서 발생하는 복잡한 항들을 압축적으로 표현할 수 있는 조합 프레임워크는 무엇인가?
• RQ5 최소한의 부드러움과 적분 가능성 가정 하에 이러한 전개의 나머지 항에 대해 엄밀히 증명 가능한 오차 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 해가 반세마르팅글레가 아니거나 이토 공식을 사용하지 않아도 되는 조건에서도 SPDE에 대해 임의의 고차수 확률적 테일러 전개를 성공적으로 도출한다.
• 이 방법은 계수 F와 B의 고전적 테일러 전개에 기반하며, 온화한 해 표현식의 반복 대입을 통해 고차수 항의 시스템적 구성이 가능하다.
• 스토하스틱 트리와 웅덩이와 같은 조합 도구는 전개 항의 압축적이고 체계적인 표현을 제공하여 분석과 구현을 용이하게 한다.
• 전개의 나머지 항은 Lp노름에서 명시적인 수렴 속도를 갖는다. 예를 들어, 1차 전개에서는 O((Δt)^{1/4})이며, 2차 전개에서는 O((Δt)^{1/2−r})이며, 3차 전개에서는 O((Δt)^{3/4−2r})이다.
• 이 프레임워크는 노이즈에 대한 최소한의 가정(예: 무한한 이차 변동성) 하에서도 강건하며, 덧셈형 및 곱셈형 노이즈 SPDE에 모두 적용 가능하다.
• 이론적 기반은 더 높은 차수의 수치적 방법 개발을 가능하게 하며, 선형 은자 오일러 스킴과 같은 기존 방법보다 향상된 수렴 속도를 기대할 수 있다.