[논문 리뷰] Teaching linear algebra at university

Jean-Luc Dorier|ArXiv.org|2003. 05. 01.

Mathematics Education and Teaching Techniques참고 문헌 18인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 역사적 통찰, 인지 유연성, 추상화에 대한 명시적 반성 등을 통합하여 인지적 및 인지론적 과제를 해결하는 대학 선형대수학을 위한 메타레벨 장기 수업 설계를 제안한다. 랭크 개념을 중심으로 하여 표현, 설정, 시점의 전략적 전환을 통해 개념적 이해를 향상시키고 학생의 이질감을 감소시키며, 실험 결과는 평가의 방법론적 과제가 존재하더라도 학생의 참여도와 이해도 향상에 있어 뚜렷한 성과를 보였다.

ABSTRACT

Linear algebra represents, with calculus, the two main mathematical subjects taught in science universities. However this teaching has always been difficult. In the last two decades, it became an active area for research works in mathematics education in several countries. Our goal is to give a synthetic overview of the main results of these works focusing on the most recent developments. The main issues we will address concern: the epistemological specificity of linear algebra and the interaction with research in history of mathematics; the cognitive flexibility at stake in learning linear algebra; three principles for the teaching of linear algebra as postulated by G. Harel; the relation between geometry and linear algebra; an original teaching design experimented by M. Rogalsk.

연구 동기 및 목표

• 기하학과 미적분학을 사전에 다루었음에도 불구하고 학생들이 추상적인 선형대수 개념을 학습하는 데 지속적으로 어려움을 겪는 문제를 해결하기 위해.
• 수학사의 인지론적 통찰이 더 효과적인 수업 전략을 설계하는 데 어떻게 기여할 수 있는지 조사하기 위해.
• 선형대수 객체의 다수의 표현 방식을 다루는 데 있어 인지 유연성의 역할을 탐색하기 위해.
• 개념적 통합과 추상화를 강조하는 장기적 메타레벨 수업 설계의 효과성을 평가하기 위해.
• 기하적 직관이 학습에 항상 도움이 된다는 가정을 도전하고, 대신 표현의 사용을 통제적이고 명시적으로 추진하기 위해.

제안 방법

• 벡터 공간 이론의 통합적·일반화적 힘을 명시적으로 논의하는 메타레벨 활동을 구현하여 학생들이 개념적 성취를 반성하도록 돕기 위해.
• 핵심 개념을 다양한 시각과 설정에서 여러 번 반복하여 비선형 학습을 지원하는 장기 수업 시퀀스를 사용하기 위해.
• 예: 대수적, 기하적, 기호적 표현 방식의 변화와 예: R^n, 추상 벡터 공간 등의 수학적 설정의 변화를 통해 인지 유연성을 향상시키기 위해.
• 핵심 도구로 보는 것보다는 선형대수학의 통합적·기초적 개념으로서의 랭크 개념을 중심으로 지도하기 위해.
• 수학적 대상과 그 표현 방식을 구분하고, 표현 방식 간을 수월하게 번역하도록 요구하는 활동을 설계하기 위해.
• 절차적 숙련보다 이론적 반성과 개념적 전환을 강조하여 수업 계약을 재구조화하는 디디오틱적 접근을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역사적 인지론이 더 효과적인 선형대수학 교육과정 설계에 어떻게 기여할 수 있는가?
• RQ2 선형대수 개념의 표현에서의 인지 유연성은 학생의 이해도와 성취도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 메타레벨 활동은 학생들이 추상적 벡터 공간 이론의 통합적 힘을 이해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기하적 직관의 사용은 추상적 선형대수 개념의 학습을 어떻게 영향을 주거나 방해하는가?
• RQ5 장기적이고 비모듈화된 수업 설계는 선형대수학에서 깊이 있는 개념적 학습을 얼마나 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 전문가에게는 강력한 공리적 접근이지만, 학생들에게는 통합과 일반화의 이점이 즉각적으로 드러나지 않기 때문에 어려움을 겪는다.
• 학생들은 벡터 공간과 애핀 공간을 자주 구분하지 못하며, 모든 선형변환이 기하적으로 직관적이라고 잘못 가정하는 경우가 많다.
• 비판적 사고 없이 기하 표현을 사용할 경우, 학생들이 시각적 직관을 초월해 추상화하지 못할 수 있기 때문에 장애물이 될 수 있다.
• 메타레벨 활동—개념의 이론적 의의에 대한 명시적 논의—는 추상화의 가치를 학생들이 인식하는 데 필수적이라는 것이 밝혀졌다.
• 랭크 중심의 실험적 수업 설계와 다수의 표현 방식을 통한 교육은 측정 가능한 이해도 향상을 가져왔지만, 개입의 비선형적·장기적 성격으로 평가가 복잡해졌다.
• 표준화된 비교가 부족했음에도 불구하고 내부 평가 결과 학생의 참여도와 개념적 성숙도 향상이 양호하게 나타나, 이 접근이 교육과정 개혁 잠재력을 지닌다는 것이 제기되었다.