[논문 리뷰] Teichmueller curves in genus three and just likely intersections in $G_m^n x G_a^n$

Matt Bainbridge, Philipp Habegger외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbf{G}_m^n \times \u005c mathbf{G}_a^n$ 내에서의 불확실한 교차 이론, 호드 번들의 하드러-나라시안 필터링, 그리고 토크션 순서의 경계로부터 유도된 높이 경계를 결합하여, 종수 3 리만 곡면의 모듈리 공간에서 대수적으로 원시적인 테이히뮐러 곡선이 유한 개임을 증명한다. 핵심 결과는 저복잡도 및 고복잡도 모두의 군집에 대해 유효한 효과적인 기법을 사용하여, $\Omega\mathcal{M}_3$의 모든 군집, 특히 일반 군집 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 에서의 유한성을 확립한다.

ABSTRACT

We prove that the moduli space of compact genus three Riemann surfaces contains only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves. For the stratum consisting of holomorphic one-forms in genus three with a single zero, our approach to finiteness uses the Harder-Narasimhan filtration of the Hodge bundle over a Teichmueller curve to obtain new information on the locations of the zeros of eigenforms. By passing to the boundary of moduli space, this gives explicit constraints on the cusps of Teichmueller curves in terms of cross-ratios of six points on a projective line. These constraints are akin to those that appear in Zilber and Pink's conjectures on unlikely intersections in diophantine geometry. However, in our case one is lead naturally to the intersection of a surface with a family of codimension two algebraic subgroups of $G_m^n imes G_a^n$ (rather than the more standard $G_m^n$). The ambient algebraic group lies outside the scope of Zilber's Conjecture but we are nonetheless able to prove a sufficiently strong height bound. For the generic stratum in genus three, we obtain global torsion order bounds through a computer search for subtori of a codimension-two subvariety of $G_m^9$. These torsion bounds together with new bounds for the moduli of horizontal cylinders in terms of torsion orders yields finiteness in this stratum. The intermediate strata are handled with a mix of these techniques.

연구 동기 및 목표

• 종수 3 리만 곡면의 모듈리 공간 $\mathcal{M}_3$ 에서 대수적으로 원시적인 테이히뮐러 곡선의 유한성을 확립하는 것.
• Zilber의 추측의 범위를 초월하는 더 복잡한 환경인 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 으로의 불확실한 교차 이론 기법을 확장하는 것.
• 구내 불변량과 토크션 순서에 대한 효과적인 경계를 제공하여, 컴퓨터 검색을 통한 잠재적 분류를 가능하게 하는 것.
• 특히 일반 군집 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 을 포함한 $\Omega\mathcal{M}_3$ 의 모든 군집에서 유한성 문제를 호드 이론과 등각 기하학의 조합을 통해 해결하는 것.

제안 방법

• 저군집의 경우, 고유형식의 영점 위치를 제약하기 위해 테이히뮐러 곡선 위의 호드 번들의 하드러-나라시안 필터링을 적용하는 것.
• codimension-two 대수적 부분군이 $\ mathbf{G}_m^n \times \u005c mathbf{G}_a^n$ 에서 표면과의 교차로 모델링된 구내 불변량의 높이 경계를 유도하여, 불확실한 교차 이론의 기법을 확장하는 것.
• 특히 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 군집에서 $\ mathbf{G}^9$ 의 codimension-two 부분다양체에 대해 컴퓨터 보조 검색을 사용하여 전역 토크션 순서 경계를 확립하는 것.
• 고복잡도 군집의 경우, 등각 기하학을 활용하여 수평 실린더의 모듈러스 비율을 토크션 순서로 경계 짓는 것.
• 주기 방향에서 실린더의 프로젝티브 폭을 분석하여, $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ 에서 추적 필드의 유한성을 도출하는 것. 이는 노르트코트의 정리에 기반한다.
• 특정 안정형식의 다양체가 무한히 많은 토크션 점을 포함할 수 없으며, 이는 초등형 분포의 다양체에 속해 있을 경우에만 가능하다는 점을 증명하고, 정규화와 주기 방정식에 대해 료피탈의 정리를 적용하여 모순을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\ mathcal{M}_3$ 에서 대수적으로 원시적인 테이히뮐러 곡선이 유한 개일까?
• RQ2 Zilber의 추측의 범위를 벗어난 배경군이 존재하는 $\ mathbf{G}_m^n \times \u005c mathbf{G}_a^n$ 에서도, 테이히뮐러 곡선의 구내에 대한 효과적인 높이 경계를 확립할 수 있을까?
• RQ3 전역 토크션 순서 경계와 실린더 모듈러스 경계를 결합하여, 일반 군집 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 에서의 유한성을 증명할 수 있을까?
• RQ4 하드러-나라시안 필터링이 영점 수가 적은 군집, 예를 들어 $\Omega\mathcal{M}_3(4)$ 와 같은 경우에 고유형식의 영점 위치에 기하학적 제약을 줄 수 있을까?
• RQ5 $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ 에서 고정된 잔여 삼중항을 가지는 안정형식의 다양체가 $({\mathbf{C}}^*)^3$ 의 부분토루인가? 이는 구내 유한성에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 종수 3에서 대수적으로 원시적인 테이히뮐러 곡선은 오직 유한 개이며, 이는 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 이러한 곡선의 구내는 하드러-나라시안 필터링과 경계 행동으로부터 유도된 $\mathbb{P}^1$ 상의 여섯 점의 cross-ratio로 제약을 받는다.
• codimension-two 부분군이 $\ mathbf{G}_m^n \times \u005c mathbf{G}_a^n$ 에서 표면과의 교차에 대해 효과적인 높이 경계가 확립되었으며, 이는 불확실한 교차 이론을 $\ mathbf{G}_m^n$ 이외의 영역으로 확장한 것이다.
• 일반 군집 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 에서는 $\ mathbf{G}^9$ 에서의 컴퓨터 검색을 통해 전역 토크션 순서 경계가 계산되었으며, 이는 실린더 모듈러스 경계를 통해 유한성을 보장한다.
• $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ 에서 가능한 잔여 삼중항 $(r_1:r_2:r_3)$ 의 집합은 유한하며, 고정된 잔여를 가지는 안정형식의 다양체가 부분토루가 될 수는 없으며, 이는 주기 방정식에서 모순을 일으키기 때문이다.
• 증명은 $Q(C_0)$, 즉 $({\mathbf{C}}^*)^3$ 에서 잔여 다양체의 성분의 이미지가 부분토루가 될 수 없으며, 이는 $r_i$ 와 $q_i$ 에 대한 유도된 대수적 조건이 모순을 일으키기 때문이다. 따라서 이러한 구내의 유한성을 증명한다.