[논문 리뷰] Teichmuller distance for some polynomial-like maps

Eduardo A. Prado|arXiv (Cornell University)|1996. 01. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다항형 유사 사상의 한 클래스—특히 임계점 외부에서 초구형인 사상들—에 대해, 그 잼라 집합 내의 초구형 집합을 활용하고 수학자 수올리의 비선형 해석적 시스템에 대한 강성 정리( rigidity theorem )를 적용하여 테이히뮐러 거리가 잘 정의된 거리 함수임을 입증한다. 주요 결과는 이러한 사상들에 대해 최대 엔트로피 측도의 하우스도르프 차원이 잼라 집합의 하우스도르프 차원보다 엄밀히 작다는 것이며, 체비셰프 다항식의 경우를 제외하고는 이는 성립한다. 이는 증명된 바에 따라 증명된 바에 비해 Zdunik의 결과를 다항식을 초월하여 일반화한 것이다.

ABSTRACT

In this work we will show that the Teichmüller distance for all elements of a certain class of generalized polynomial-like maps (the class of off-critically hyperbolic generalized polynomial-like maps) is actually a distance, as in the case of real polynomials with connected Julia set, as studied by Sullivan. This class contains several important classes of generalized polynomial-like maps, namely: Yoccoz, Lyubich, Sullivan and Fibonacci. In our proof we can not use external arguments (like external classes). Instead we use hyperbolic sets inside the Julia sets of our maps. Those hyperbolic sets will allow us to use our main analytic tool, namely Sullivan's rigidity Theorem for non-linear analytic hyperbolic systems. Lyubich has constructed a measure of maximal entropy measure $m$ on the Julia set of any rational function $f$. Zdunik classified exactly when the Hausdorff dimension of $m$ equals the Hausdorff dimension of the Julia set. We show that the strict inequality holds if $f$ is off-crititcally hyperbolic, except for Chebyshev polynomials. This result is a particular case of Zdunik's result if we consider $f$ as a polynomial, but is an extension of Zdunik's result if $f$ is a generalized polynomial-like map. The proof follows from the non-existence of invariant affine structure.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 다항형 유사 사상의 광범위한 클래스에 대해 테이히뮐러 거리가 타당한 거리 함수임을 입증하는 것.
• 비다항식 일반화된 다항형 유사 사상에 대해 Zdunik의 최대 엔트로피 측도의 하우스도르프 차원에 관한 결과를 확장하는 것.
• 특히 체비셰프 다항식을 제외한 모든 경우에서 최대 엔트로피 측도의 하우스도르프 차원이 잼라 집합의 하우스도르프 차원보다 엄밀히 작다는 것을 증명하는 것.
• 외부 클래스나 외부 클래스에 의존하지 않고, 초구형 집합과 같은 내재된 동역학적 구조를 활용하여 분석하는 것.

제안 방법

• 해당 사상의 잼라 집합 내에 존재하는 초구형 집합을 분석의 기초로 활용한다.
• 비선형 해석적 초구형 시스템에 대한 수올리의 강성 정리를 적용하여 테이히뮐러 극값 사상의 유일성을 확립한다.
• 유리 함수의 잼라 집합 위에서 리우비치의 최대 엔트로피 측도 구성 방법을 활용한다.
• 고정된 아핀 구조의 부재를 분석하여 강성 성질을 도출한다.
• 테이히뮐러 공간 내의 비정상성 현상을 제거하기 위한 핵심 분석 도구로 고정된 아핀 구조의 부재를 사용한다.
• 외부 기하학적 또는 등각적 클래스에 의존하지 않고, 사상의 내재된 동역학에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비임계점에서 초구형인 일반화된 다항형 유사 사상에 대해 테이히뮐러 거리가 잘 정의된 거리 함수인가?
• RQ2 체비셰프 다항식을 제외한 이러한 사상들에 대해 최대 엔트로피 측도의 하우스도르프 차원이 잼라 집합의 하우스도르프 차원보다 엄밀히 작은가?
• RQ3 외부 클래스나 외부 클래스에 의존하지 않고도 테이히뮐러 거리의 강성 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 수올리의 강성 정리는 비다항식 일반화된 다항형 유사 사상에 대해 어느 정도 적용 가능한가?
• RQ5 이 사상의 클래스에서 고정된 아핀 구조의 존재와 테이히뮐러 거리 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 테이히뮐러 거리는 Yoccoz, Lyubich, Sullivan, 피보나치 유형 사상을 포함한 모든 비임계점에서 초구형인 일반화된 다항형 유사 사상에 대해 타당한 거리 함수이다.
• 모든 이러한 사상들에 대해 최대 엔트로피 측도의 하우스도르프 차원은 잼라 집합의 하우스도르프 차원보다 엄밀히 작다. 유일한 예외는 체비셰프 다항식이다.
• 하우스도르프 차원의 엄밀한 부등식은 연구 중인 동역학계에서 고정된 아핀 구조의 부재를 통해 입증된다.
• 이 결과는 Zdunik의 정리가 다항식 사상의 범위를 초월하여 일반화된 다항형 유사 사상의 더 넓은 클래스로 확장됨을 보여준다.
• 증명은 외부 기하학적 또는 등각적 불변량이 아닌 내재된 동역학적 구조—즉 초구형 집합—에 의존한다.
• 내재된 초구형 동역학과 아핀 구조의 부재를 활용하여 수올리의 강성 정리는 비다항식 사상에 성공적으로 적용되었다.