[논문 리뷰] Tempered distributions: does universal tempering procedure exist?

Lev B. Klebanov, Lenka Slámová|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 안정 분포 및 첨부된 분포에 대해 일반적인 온도 조절 절차가 존재하지 않음을 주장한다. 특히 안정 및 온도 조절된 안정 분포 법칙에 대해, 온도 조절은 모형에 특화되어야 하며, 레비 과정, 레파지 시리즈 또는 곱셈 캐스케이드와 같은 기본 확률 과정에서 유도되어야 한다. 이는 한 크기의 온도 조절 절차를 적용하는 것과 같은 접근 방식을 배제하며, 모형의 정합성과 실증적 관련성을 유지하기 위해 온도 조절 절차에 기계적 근거를 마련할 필요성을 강조한다.

ABSTRACT

Since the turn of the century, there has been increased interest in the application of heavy-tailed distributions, particularly stable distributions, to problems in physics and finance. Although, the tails of stable distributions provide a better fit to real-world data, they are too fat to describe empirical distributions. To remedy this drawback of stable distributions, so-called tempered variants of stable distributions have been proposed. In this paper, we argue that the tempering should be connected to the model leading to heavy tailed distribution and propose several tempering procedures in connection with corresponding models

연구 동기 및 목표

• 안정 분포 및 첨부된 분포에 대해 일반적인 온도 조절 절차가 존재한다는 가정에 도전하기 위해.
• 일반화된 극한 정리 또는 확률 모형에서 유도된 온도 조절 절차가 실용적 적용 가능성에 필수적임을 보여주기 위해.
• 비안정 첨부된 분포에 대해 임의의 온도 조절이 이론적 및 실용적 근거가 부족함을 보여주기 위해.
• 첫 번째 통과 시간, 포아송 과정, 곱셈 캐스케이드와 같은 단순 모형을 기반으로 한 모형 기반 온도 조절을 주장하기 위해.
• 경제학에서 실제적인 단순 모형이 부족하여 적절한 온도 조절 선택을 안내할 수 없다는 점을 부각하기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 통과 시간, 랜덤 워크, 레비 과정을 포함한 첨부된 분포를 생성하는 단순 모형을 분석한다.
• 레파지 시리즈 표현을 사용하여 포아송 과정과 i.i.d. 확률 변수로부터 안정 분포를 도출한다.
• 임의의 합의 항의 수에 대한 시부야 또는 기하 분포의 截단을 통해 온도 조절을 적용한다.
• 기타 온도 조절 방법으로는 수정된 확률 생성 함수, 예를 들어 截단 또는 기하-안정 변형을 고려한다.
• 레비-크힌친 표현을 검토하고, 지수 또는 이산적 截단을 통해 레비 측도를 수정한다.
• 전통적 온도 조절(레비 측도의 지수 감소)과 모형 특화된 대안을 비교하며, 구조적 일관성을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 안정 또는 첨부된 분포에 대해 일반적인 온도 조절 절차를 적용할 수 있는가?
• RQ2 기초가 되는 확률 모형이 유효한 온도 조절 절차를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 안정 분포에 대해 전통적 온도 조절이 비안정 첨부된 분포에 적용되었을 때 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 레파지 시리즈 또는 곱셈 캐스케이드와 같은 단순 모형은 온도 조절 선택에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이산 모형에서의 비가환 극한(예: M→∞ 및 p→0)은 온도 조절 절차에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 첨부된 분포에 대해 일반적인 온도 조절 절차가 존재하지 않으며, 온도 조절은 기초가 되는 확률 모형에서 유도되어야 한다.
• 레비 측도의 지수 감소를 통한 온도 조절은 비안정 분포에 대해서는 일반적으로 적용되지 않으며, 특히 비안정 분포에 대해서는 적용 불가능하다.
• 모형 특화 온도 조절, 예를 들어 레파지 시리즈에서 항의 수를 截단하거나 유한한 랜덤 수를 사용하는 방식은 더 가벼운, 더 현실적인 꼬리를 가진 분포를 이끈다.
• 온도 조절 절차의 선택은 임의적이 아니며, 원래의 첨부된 분포의 생성 메커니즘과 일치시켜야 한다.
• 전통적 온도 조절, 즉 레비 측도에서의 지수 감소는 복합 포아송 과정과 같은 특정 모형에서 유도된 경우에만 유효하다.
• 온도 조절 절차의 극한 행동은 극한의 순서(예: M→∞ 및 p→0)에 따라 결정되며, 이는 온도 조절이 가환적이지도 않고 유일하게 정의되지 않음을 보여준다.