[논문 리뷰] Tensor Decomposition, Parafermions, Level-Rank Duality, and Reciprocity Law for Vertex Operator Algebras

Cuipo, Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $의 공액체가 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 내에서 parafermion vertex operator algebra $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $와 동형임을 증명함으로써, vertex operator algebra에 대해 수준-랭크 dual을 수립한다. 이는 또한 수준-$ l_i $ 모듈의 텐서곱에 대해 상호법칙으로 일반화되며, 재구성군의 Howe dual과 유사한 이중성 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

For the semisimple Lie algebra $ \frak{sl}_n$, the basic representation $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)$ of the affine Lie algebra $\widehat{\frak{sl}_{n}}$ is a lattice vertex operator algebra. The first main result of the paper is to prove that the commutant vertex operator algebra of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l,0)$ in the $l$-fold tensor product $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)^{\otimes l}$ is isomorphic to the parafermion vertex operator algebra $K(\frak{sl}_{l},n)$, which is the commutant of the Heisenberg vertex operator algebra $L_{\widehat{\frak{h}}}(n,0) $ in $L_{\widehat{\frak{sl}_l}}(n,0)$. The result provides a version of level-rank duality. The second main result of the paper is to prove more general version of the first result that the commutant of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1+\cdots +l_s, 0)$ in $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1,0)\otimes \cdots \otimes L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_s, 0)$ is isomorphic to the commutant of the vertex operator algebra generated by a Levi Lie subalgebra of $\frak{sl}_{l_1+\cdots+l_s}$ corresponding to the composition $(l_1, \cdots, l_s)$ in the rational vertex operator algebra $ L_{\widehat{\frak{sl}}_{l_1+\cdots +l_s}}(n,0)$. This general version also resembles a version of reciprocity law discussed by Howe in the context of reductive Lie groups. In the course of the proof of the main results, certain Howe duality pairs also appear in the context of vertex operator algebras.

연구 동기 및 목표

• 공액체 구성법을 사용하여 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $와 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 사이의 관계를 통해 VOA에 대한 수준-랭크 이중성을 수립한다.
• 다양한 수준을 가진 모듈의 텐서곱으로 이중성을 일반화한다.
• parafermion VOA의 구조를 아핀 VOA의 코셋 구성과 연결한다.
• 재구성군의 Howe 이중성과 유사한 VOA에 대한 상호법칙을 수립한다.
• 특정 경우에서 parafermion VOA의 유리성과 $ C_2 $-cofiniteness를 증명한다.

제안 방법

• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 내에서 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $의 공액체가 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $과 동형임을 보이기 위해 공액체 VOA를 사용한다.
• VOA의 맥락에서 Howe 이중성 쌍을 적용하여 공액체 간의 동형을 도출한다.
• 모듈 범주 동치를 통해 서로 다른 VOA에서의 공액체 간 동형을 구성한다.
• parafermion VOA의 쌍대 파트너로 격자 VOA $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $를 사용한다.
• 수준 조합 $ (l_1, \dots, l_s) $를 통해 $ s $-중 텐서곱으로 이중성을 일반화한다.
• 쌍대 VOA 쌍의 모듈 간 Hom-공간의 동형을 통해 상호법칙을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 내에서 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $의 공액체가 parafermion VOA $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $과 동형인가?
• RQ2 수준-랭크 이중성은 서로 다른 수준을 가진 모듈의 텐서곱으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 재구성군의 Howe 이중성과 유사한 상호법칙이 VOA의 맥락에서 성립하는가?
• RQ4 parafermion VOA $ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $의 유리성과 표현 이론은 어떠한가?
• RQ5 코셋 구성 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)) $는 $ C_2 $-cofinite하고 유리적인가?

주요 결과

• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 내에서 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $의 공액체는 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $과 동형이며, 이는 수준-랭크 이중성을 수립한다.
• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_l}}(n,0) $의 공액체 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_l}}(n,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(n,0)) $는 $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $과 동형이며, 이는 격자 VOA이다.
• $ n \geq 2 $일 때, $ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $는 유리적이며 $ 2^{n-2}(n+1) $개의 기약 표현을 가진다.
• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes 2} $ 내에서의 코셋 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes 2}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(2,0)) $는 $ C_2 $-cofinite하며, $ n(n+1)/2 $개의 기약 모듈을 가진다.
• 이 코셋은 $ n \leq 6 $일 때 유리적이며, Zhu 대수는 차원 $ n(n+1)/2 $인 반단순이고 교환 법칙을 만족하는 가환 대수이다.
• 쌍대 VOA 쌍의 모듈 간 Hom-공간의 동형을 통해 일반적인 상호법칙이 수립된다.