[논문 리뷰] Tensor decompositions and tensor equations over quaternion algebra

Zhuo‐Heng He, Carmeliza Navasca외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 20.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 48인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인 곱을 사용하여 히사티온 대수에서의 텐서 분해 및 방정식에 대한 최초의 종합적 프레임워크를 수립한다. 히사티온 텐서 SVD, 질량 분해, η-에르미트 분해를 도입하고, SVD를 통해 모어-펜로즈 역행렬을 유도하며, 일반화된 실리베스트 히사티온 텐서 방정식의 해가 존재하고 일반 해가 존재하는 데 필요한 및 충분한 조건을 제공한다. 응용 분야로는 η-에르미트 해가 포함된다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate and discuss in detail the structures of quaternion tensor SVD, quaternion tensor rank decomposition, and $η$-Hermitian quaternion tensor decomposition with the isomorphic group structures and Einstein product. Then we give the expression of the Moore-Penrose inverse of a quaternion tensor by using the quaternion tensor SVD. Moreover, we consider a generalized Sylvester quaternion tensor equation. We give some necessary and sufficient conditions for the existence of a solution to the generalized Sylvester quaternion tensor equation in terms of the Moore-Penrose inverses of the quaternion tensors. We also present the expression of the general solution to this tensor equation when it is solvable. As applications of this generalized Sylvester quaternion tensor equation, we derive some necessary and sufficient conditions for the existences of $η$-Hermitian solutions to some quaternion tensor equations. We also provide some numerical examples to illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 히사티온 대수에서 아인슈타인 곱과 동형군 구조를 사용하여 텐서 분해(특이값 분해, 질량 분해, η-에르미트 분해)의 체계적 이론을 개발한다.
• 짝수 차수의 히사티온 텐서의 모어-펜로즈 역행렬을 히사티온 텐서 SVD를 통해 정의하고 표현한다.
• 일반화된 실리베스트 히사티온 텐서 방정식의 존재성 및 일반 해에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 일반화된 실리베스트 방정식 프레임워크를 활용하여 특정 클래스의 히사티온 텐서 방정식에 대해 해가 존재하는 조건과 일반 η-에르미트 해를 유도한다.

제안 방법

• 아인슈타인 곱을 사용하여 히사티온 대수에서의 텐서 연산을 정의함으로써, 구조적 분해와 역행렬을 가능하게 한다.
• 짝수 차수의 히사티온 텐서의 모어-펜로즈 역행렬을 도출하기 위한 기초 도구로 히사티온 텐서 SVD를 도입한다.
• 계수 텐서의 모어-펜로즈 역행렬을 적용하여 일반화된 실리베스트 방정식의 존재 조건과 일반 해 공식을 도출한다.
• 동형군 구조를 활용하여 히사티온 텐서 분해의 대수적 성질를 분석하고 특성화한다.
• 대칭 평균화를 사용하여 임의의 해를 η-에르미트 부분공간에 투영함으로써 일반 η-에르미트 해를 유도한다.
• 직교 투영자와 일반화된 역행렬(예: $oldsymbol{ abla}$, $oldsymbol{ abla}^ ext{†}$)을 사용하여 해 공간을 분해하고 구조적 제약 조건을 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인 곱을 사용하여 히사티온 대수에서 SVD, 질량 분해, η-에르미트 분해와 같은 텐서 분해를 체계적으로 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ2 히사티온 텐서의 모어-펜로즈 역행렬은 어떻게 표현되며, 이를 텐서 SVD로부터 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 실리베스트 히사티온 텐서 방정식 $oldsymbol{ abla}*_N oldsymbol{X}*_M oldsymbol{B} + oldsymbol{C}*_N oldsymbol{Y}*_M oldsymbol{D} = oldsymbol{E}$ 가 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 해가 존재할 경우, 일반화된 실리베스트 방정식의 일반 해 형태는 무엇인가?
• RQ5 특정 히사티온 텐서 방정식에 대해 η-에르미트 해가 존재하는 데 필요한 및 충분한 조건은 무엇이며, 이를 어떻게 매개변수화할 수 있는가?

주요 결과

• 짝수 차수의 히사티온 텐서의 모어-펜로즈 역행렬은 텐서 SVD를 통해 다음과 같이 표현된다: $oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}} = oldsymbol{U}^{oldsymbol{ abla}} *_N oldsymbol{ abla}^{oldsymbol{ abla}} *_N oldsymbol{V}^{oldsymbol{ abla}}$, 여기서 $oldsymbol{U}, oldsymbol{V}$ 는 유니터리이고 $oldsymbol{ abla}$ 는 코어 텐서이다.
• 일반화된 실리베스트 방정식 $oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_M oldsymbol{B} + oldsymbol{C}*_N oldsymbol{Y}*_M oldsymbol{D} = oldsymbol{E}$ 는 $(oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{E}*_N oldsymbol{R}_{oldsymbol{C}} = 0$ 이고 $(oldsymbol{R}_{oldsymbol{C}})*_N oldsymbol{E}*_N oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}} = 0$ 인 경우에만 해를 갖는다.
• 해가 존재할 경우, 일반화된 실리베스트 방정식의 해는 모어-펜로즈 역행렬과 차원이 호환되는 임의의 텐서 $oldsymbol{U}_1, oldsymbol{U}_2, oldsymbol{U}_3, oldsymbol{U}_4, oldsymbol{U}_5$ 를 포함하는 닫힌 형태의 표현식으로 주어진다.
• 조건 $oldsymbol{X} = oldsymbol{X}^{oldsymbol{ abla}*}$ 를 만족하는 히사티온 텐서 방정식 $oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_N oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}oldsymbol{ abla}*} = oldsymbol{E}$ 는 $(oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{E} = 0$ 인 경우에만 η-에르미트 해를 갖는다.
• 방정식 $oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_N oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}oldsymbol{ abla}*} = oldsymbol{E}$ 의 일반 η-에르미트 해는 $oldsymbol{X} = oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}}*_N oldsymbol{E}*_N (oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}})^{oldsymbol{ abla}*} + (oldsymbol{L}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{U} + oldsymbol{U}^{oldsymbol{ abla}*}*_N (oldsymbol{L}_{oldsymbol{A}})^{oldsymbol{ abla}*}$ 로 주어지며, 여기서 $oldsymbol{U}$ 는 임의의 텐서이다.
• 이 해 프레임워크를 통해 일반화된 실리베스트 형태로 환원함으로써 다양한 텐서 방정식에 대해 해가 존재하는 조건과 일반 η-에르미트 해를 도출할 수 있다.