[논문 리뷰] Tensor Network Methods for Extracting CFT Data from Fixed-Point Tensors and Defect Coarse Graining

Wenhan Guo, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 17.

Theoretical and Computational Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 고전적 이징 모형의 고정점 텐서에서 스케일링 차원과 OPE 계수와 같은 conformal field theory (CFT) 데이터를 선형화된 텐서 군속화 그룹(lTRG)과 그래프에 의존하지 않는 국소적 절단(GILT)을 사용하여 추출하는 텐서 네트워크 방법을 제시한다. 결함을 격자에 삽입하면 lTRG 고유벡터와 일치하는 conformal 상태가 생성되며, HOTRG+GILT는 통제된 조건 하에서 정확한 두 점 및 네 점 함수를 가능하게 하며 최소 표준형을 통해 안정성이 향상됨을 보여준다.

ABSTRACT

We present a comprehensive study on the extraction of CFT data using tensor network methods, specially, from the fixed-point tensor of the linearized tensor renormalization group (lTRG) for the 2D classical Ising model near the critical temperature. Utilizing two different methods, we extract operator scaling dimensions and operator-product-expansion (OPE) coefficients by introducing defects on the lattice and by employing the fixed-point tensor. We also explore the effects of point-like defects in the lattice on the coarse-graining process. We find that there is a correspondence between coarse-grained defect tensors and conformal states obtained from lTRG fixed-point equation. We also analyze the capabilities and limitations of our proposed coarse-graining scheme for tensor networks with point-like defects, which includes graph independent local truncation (GILT) and higher-order tensor renormalization group (HOTRG). Our results provide a better understanding of the capacity and limitations of the tenor renormalization group scheme in coarse-graining defect tensors, and we show that GILT+HOTRG can be used to give accurate two- and four-point functions under specific conditions. We also find that employing the minimal canonical form further improves the stability of the RG flow.

연구 동기 및 목표

• 비판적 격자 모델의 고정점 텐서에서 스케일링 차원과 OPE 계수를 포함한 CFT 데이터를 추출하는 방법을 개발하는 것.
• 격자 내 점 형태의 결함이 텐서 네트워크 군속화에 미치는 영향을 조사하고, 이들이 conformal 상태를 구성하는 데 사용될 수 있는지 여부를 탐구하는 것.
• HOTRG와 GILT가 결함 존재 하에서 상관 함수 유지 및 RG 흐름 안정성에 대한 성능과 한계를 평가하는 것.
• 군속화된 결함 텐서와 lTRG 고정점 방정식에서 유도된 conformal 상태 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• CFT 데이터로부터 고정점 텐서를 구성하는 것의 가능성을 탐색하여 역보팅 접근법을 제시하는 것.

제안 방법

• 비판적 근처의 2D 이징 모형의 고정점 텐서에서 스케일링 차원과 OPE 계수를 추출하기 위해 선형화된 텐서 군속화 그룹(lTRG)을 사용한다.
• 결함은 국소적 텐서를 수정하여 conformal 연산자의 삽입을 시뮬레이션함으로써 격자에 도입되며, 이는 conformal 상태의 구성에 기여한다.
• 불필요한 상관관계(CDL 텐서)를 제거하고 군속화 동안 RG 흐름을 안정화하기 위해 그래프에 의존하지 않는 국소적 절단(GILT)을 적용한다.
• 효율적인 격자 군속화를 위해 고차 텐서 군속화 그룹(HOTRG)을 사용하며, 각 단계에서 절단과 필터링을 적용한다.
• lTRG 고정점 방정식의 고유벡터와 군속화된 결함 텐서를 비교하여 conformal 상태와의 대응 관계를 검증한다.
• RG 흐름의 안정성 향상과 수치적 오류 감소를 위해 최소 표준형을 사용한다.

Figure 1 : (color online) Illustration of the renormalization group flow (top) and the changes in tensors during the RG process.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 lTRG와 GILT를 사용하여 2D 이징 모형의 고정점 텐서에서 스케일링 차원과 OPE 계수를 정확하게 추출할 수 있는가?
• RQ2 군속화된 결함 텐서와 lTRG 고정점 방정식에서 얻은 conformal 상태 사이에 직접적인 대응 관계가 존재하는가?
• RQ3 점 형태의 결함은 HOTRG와 GILT 군속화 하에서 어떻게 행동하며, 상관 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 GILT+HOTRG는 결함 존재 하에서 두 점 및 네 점 상관 함수를 어느 정도 유지할 수 있는가?
• RQ5 최소 표준형은 결함 시스템에 대한 텐서 네트워크 RG 흐름의 안정성과 정확도를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 비판적 2D 이징 모형에서 Δ < 3 인 conformal 상태의 스케일링 차원은 lTRG와 전이 행렬 방법을 모두 사용하여 높은 정확도로 추출되었으며, 이는 분석 결과와 일치함.
• lTRG 고유벡터에서 OPE 계수 Cσσε가 성공적으로 계산되었으며, 기존의 알려진 CFT 데이터와 일관성을 확인함.
• 비판적 근처에서 두 점 스핀-스핀 상관 함수가 계산되었으며, 추출된 지수는 스케일링 차원과 매우 정밀하게 일치함.
• 네 점 상관 함수가 계산되었으며, 품질은 낮았지만 여전히 스케일링 차원과 OPE 계수의 추출이 가능함.
• 군속화 과정에서 결함는 '입자 구름' 형태로 퍼져나가는 것으로 나타났으며, 모서리와 가장자리에서 더 강한 퍼름이 관찰되었지만, 이 효과는 복구 가능하여 정확한 상관 함수를 회복할 수 있었음.
• lTRG 고정점 방정식의 고유벡터가 군속화된 결함 텐서와 정확히 일치함을 입증하여, 격자 연산자 삽입으로부터 conformal 상태를 구성하는 것이 타당함을 검증함.

Figure 2 : (color online) Local Entanglement resides on the boundary and Long Range Entanglement in the bulk between two rectangular blocks of lattice sites.