[논문 리뷰] Tensor networks as path integral geometry

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Quantum many-body systems인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 임계 양자 스핀 체인을 기술하는 데 사용되는 특정 텐서 네트워크를 곡률이 있는 시공간 위의 conformal field theory (CFT) 경로 적분의 이산적 근사로 해석하는 것을 제안한다. 네트워크의 텐서를 국소적 기하 연산(유클리드론은 평탄한 조각으로, 분리기/등장사는 미분형식으로)으로 식별함으로써, 일정한 고유 거리 조건을 통해 네트워크에 일관되고 유일한 기하를 부여하며, 이는 CFT 불변성과도 호환되는 방식으로 텐서 네트워크의 구조를 시공간 기하와 직접적으로 연결한다.

ABSTRACT

In the context of a quantum critical spin chain whose low energy physics corresponds to a conformal field theory (CFT), it was recently demonstrated [A. Milsted G. Vidal, arXiv:1805.12524] that certain classes of tensor networks used for numerically describing the ground state of the spin chain can also be used to implement (discrete, approximate versions of) conformal transformations on the lattice. In the continuum, the same conformal transformations can be implemented through a CFT path integral on some curved spacetime. Based on this observation, in this paper we propose to interpret the tensor networks themselves as a path integrals on curved spacetime. This perspective assigns (a discrete, approximate version of) a geometry to the tensor network, namely that of the underlying curved spacetime.

연구 동기 및 목표

• 임계 양자 스핀 체인에 사용되는 텐서 네트워크의 기하학적 해석을 수립하기 위해.
• MERA와 같은 모델에서 기하를 할당할 때 발생할 수 있는 모순된 기하를 해결하기 위해, 텐서 네트워크에 기하를 할당하는 데의 모호함을 제거하기 위해.
• 텐서 네트워크 형식을 곡률이 있는 시공간 위의 CFT 경로 적분과 연결하여, 네트워크에 물리적 시공간 기하를 할당하기 위해.
• CFT 불변성과 일정한 근접한 이웃 텐서 간 고유 거리 조건을 조합하여, 텐서 네트워크에 체계적이고 고유한 기하 특성화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유럽 시간 진화에서 유래한 유클리드론, 분리기, 등장사(기본 상태 표현에 최적화됨)의 세 가지 텐서 유형으로 구성된 텐서 네트워크를 모델링한다.
• 네트워크의 작용이 곡률이 있는 시공간 스트립 위의 CFT 경로 적분과 유사한 선형 사상으로 작용함을 식별한다.
• CFT 경로 적분이 Weyl 변환에 대해 불변임을 이용하여, 기하를 국소적 스케일 인자에 대해만 정의한다.
• 기하적 제약 조건을 도입: 근접한 이웃 텐서 간 일정한 고유 거리, 이는 기하를 전역 스케일과 UV 절단 이외에는 유일하게 고정시킨다.
• 유클리드론이 크기 $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ 의 평탄한 정사각형 조각을 나타내며, 분리기와 등장사는 국소적 좌표 재스케일링(미분형식)을 구현함을 보여줌으로써 기하학적 해석을 유도한다.
• 비선형 항의 정규화를 통해 생성자 $Q$ 의 페르투르베이티브 전개를 이용해, 임계 횡방향 자기장 이징 모델을 수치적으로 시험하여, 텐서 네트워크 사상과 정확한 CFT 경로 적분 사상 간 비교를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 스핀 체인에 사용되는 텐서 네트워크는 곡률이 있는 시공간 위의 CFT 경로 적분의 이산적 형태로 해석될 수 있는가?
• RQ2 CFT 불변성이 기하를 Weyl 변환에 대해만 고정하므로, 텐서 네트워크에 일관되고 고유한 기하를 어떻게 할당할 수 있는가?
• RQ3 MERA와 같이 서로 다른 기하(예: H² 및 dS²)를 동시에 실현하는 것처럼 보일 수 있는 텐서 네트워크에 대해, 시공간 기하를 할당하는 데의 모호함을 해결하는 기하 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 국소적 텐서 구조와 전반적 네트워크 위상 간의 상호작용으로부터 텐서 네트워크 기하가 어느 정도 결정되는가?
• RQ5 정확한 CFT 경로 적분 사상과의 비교를 통해 기하학적 해석의 정량적 정확도를 어떻게 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 근접한 이웃 텐서 간 일정한 고유 거리 조건을 요구함으로써 텐서 네트워크 기하가 고유하게 결정되며, CFT Weyl 불변성에 기인한 모호함이 해결된다.
• 유클리드론은 크기 $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ 의 평탄한 시공간 조각을 나타내며, 분리기와 등장사는 국소적 미분형식을 구현한다.
• 네트워크 기하는 국소적 미분형식을 통해 비트리비어하게 연결된 평탄한 조각들로 구성되며, 곡률이 있는 시공간의 이산적 근사로 형성된다.
• CFT 경로 적분 사상과의 수치적 비교에서, UV 절단 $a_{\text{UV}}$ 를 줄일수록 평균 절대 오차가 0에 수렴함을 확인하여, 연속 기하로의 체계적 수렴이 있음을 나타낸다.
• CFT 스펙트럼의 아이덴티티 타워는 수렴 속도가 느리며, 이는 행렬 요소 수가 적고, pMPS 안사트가 고에너지 상태를 더 나은 근사로 하지 못하기 때문일 것이다.
• c=1/2 인 임계 이징 모델의 경우, 텐서 네트워크와 CFT 경로 적분 행렬 요소 간의 고정밀도 매핑이 달성되며, 오차는 주로 유한한 보드 차원에서의 페르투르베이티브 절단과 pMPS 근사에 의해 지배된다.