[논문 리뷰] Tensor product varieties and crystals. ADE case

Anton Malkin|ArXiv.org|2001. 03. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ADE형 딜린 다이어그램과 관련된 텐서 곱 및 다중성 다양체를 도입하여, 이러한 다양체의 기약 성분들 위에 크리스탈 구조를 기하학적으로 실현한다. 이는 텐서 곱 다양체의 기약 성분들의 집합이 유한 차원 $\chi$-표현의 텐서 곱의 캐논리컬 기저와 동형인 $\chi$-크리스탈을 지닌다는 것을 증명하며, 다중성 다양체는 텐서 곱의 다중성을 기하학적으로 표현한다.

ABSTRACT

Let g be a simple simply laced Lie algebra. In this paper two families of varieties associated to the Dynkin graph of g are described: ``tensor product'' and ``multiplicity'' varieties. These varieties are closely related to Nakajima's quiver varieties and should play an important role in the geometric constructions of tensor products and intertwining operators. In particular it is shown that the set of irreducible components of a tensor product variety can be equipped with a structure of g-crystal isomorphic to the crystal of the canonical basis of the tensor product of several simple finite dimensional representations of g, and that the number of irreducible components of a multiplicity variety is equal to the multiplicity of a certain representation in the tensor product of several others. Moreover the decomposition of a tensor product into a direct sum is described geometrically (on the level of crystals).

연구 동기 및 목표

• ADE형 딜린 다이어그램과 관련된 두 종류의代수적 다양체인 텐서 곱 다양체와 다중성 다양체를 정의하고 연구하기.
• 단순 연결된 리 대수 $\chi$의 유한 차원 표현의 텐서 곱의 캐논리컬 기저의 크리스탈 구조를 기하학적으로 실현하기.
• 다중성 다양체의 기약 성분의 수가 주어진 표현이 텐서 곱 속에 나타나는 다중성과 일치함을 보여주기.
• 이러한 다양체의 기약 성분들을 통한 텐서 곱의 직합 분해를 기하학적으로 해석하기.

제안 방법

• 재수정된 리 대수 $\mathfrak{g}' = \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{t}$ 의 표현을 사용하여 텐서 곱 다양체 $^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)$ 와 다중성 다양체 $^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)$ 를 정의하기.
• 특히 $n=1$ 인 경우, $^1\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1)$ 과 $^1\mathfrak{T}(\mu^1;\nu)$ 가 $\mathfrak{M}^{\text{reg}}_0(v,w)$ 와 해상도 사상의 섬유와 일치하는 나카지마의 퀼러 다양체를 기본 빌딩 블록으로 사용하기.
• 두 개의 자연스러운 전단사 사상 $\alpha_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \mathcal{M}(\mu_1) \times \cdots \times \mathcal{M}(\mu_n)$ 과 $\beta_n: {}^n\mathcal{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n) \xrightarrow{\sim} \bigsqcup_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \times \mathcal{M}(\mu^0)$ 을 구성하기.
• 복합 사상 $\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}$ 이 텐서 곱 크리스탈 $\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)$ 과 직합 $\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)$ 사이의 $\mathfrak{g}'$-크리스탈 동형사상임을 증명하기.
• 일般적인 경우를 $n=2$ 로 줄이고, 리 대수의 리-하위대수로 제한하여 $\mathfrak{sl}_2$ 의 기본 사례로 환원하며, 선형대수학에서 알려진 결과를 활용하기.
• Jos95의 유일성 정리 [Jos95] 를 이용하여 나카지마의 크리스탈 $\mathcal{M}(\mu)$ 와 $\mathfrak{g}'$ 의 최고 무게 $\mu$ 를 가진 기약 표현의 캐논리컬 기저 사이의 동형사상을 기하적 구조를 통해 재유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 $\chi$-표현의 텐서 곱의 캐논리컬 기저의 크리스탈 구조는 기약 성분을 가진 대수적 다양체를 통해 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 다중성 다양체의 기약 성분은 주어진 기약 표현이 텐서 곱 속에 나타나는 다중성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 텐서 곱이 직합으로 분해되는 것을 크리스탈 수준에서 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ4 나카지마의 다양체와 캐논리컬 기저 사이의 크리스탈 동형사상을 텐서 곱 및 다중성 다양체의 기하적 구조를 통해 재유도할 수 있는가?
• RQ5 다이어그램 (A.3.1) 은 텐서 곱 다양체를 퀄러 다양체의 필터링과 부분다양체들과 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 텐서 곱 다양체 $^n\mathfrak{T}(\mu^1,\ldots,\mu^n;\nu)$ 의 기약 성분들의 집합은 $\mathfrak{g}'$-크리스탈의 자연스러운 구조를 지니며, 이는 $\mathfrak{g}'$ 의 최고 무게가 각각 $\mu^1,\ldots,\mu^n$ 인 $n$ 개의 기약 표현의 텐서 곱의 캐논리컬 기저의 크리스탈과 동형이다.
• 다중성 다양체 $^n\mathfrak{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n)$ 의 기약 성분의 수는 기약 표현 $L(\mu^0)$ 이 텐서 곱 $L(\mu^1) \otimes \cdots \otimes L(\mu^n)$ 속에 나타나는 다중성과 일치한다.
• 복합 사상 $\tau_n = \beta_n \circ \alpha_n^{-1}$ 은 텐서 곱 크리스탈 $\mathcal{M}(\mu_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{M}(\mu_n)$ 과 직합 $\bigoplus_{\mu_0} {}^n\mathcal{S}(\mu^0;\mu^1,\ldots,\mu^n) \otimes \mathcal{M}(\mu^0)$ 사이의 $\mathfrak{g}'$-크리스탈 동형사상이며, 이는 텐서 곱의 분해를 기하학적으로 실현한다.
• 증명은 파라보릭 하위대수를 통한 $\mathfrak{sl}_2$ 의 경우로의 환원에 기반하며, 이 경우 선형대수학에서의 명제가 자명하게 된다.
• 이 구성은 나카지마의 크리스탈 $\mathcal{M}(\mu)$ 와 $\mathfrak{g}'$ 의 최고 무게 $\mu$ 를 가진 기약 표현의 캐논리컬 기저 사이의 동형사상을, 텐서 곱에 대해 닫혀 있는 크리스탈 가족의 유일성에 기반한 대체 증명을 제공한다.
• 다이어그램 (A.3.1) 은 필터링에 대해 해당하는 섬유가 다중성 다양체와 동형인 피복의 총공간을 실현하며, 이 총공간의 기약 성분의 수는 $\dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Hom}_{\mathfrak{g}'}(L(d,v), L(\mathbf{d}^1,\mathbf{v}^1) \otimes \cdots \otimes L(\mathbf{d}^n,\mathbf{v}^n))$ 과 일치한다.