[논문 리뷰] Tensor products in the category of topological vector spaces are not associative

Helge Glöckner|ArXiv.org|2003. 07. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반(비국소적으로 볼록이 아닌) 위상선형공간의 범주에서 텐서곱이 결합법칙을 만족하지 않음을 보이며, $ℝ^\mathbb{N}$를 반례로 사용한다. 반복된 텐서곱 $(E \otimes E) \otimes E$, $E \otimes (E \otimes E)$, 및 $E \otimes E \otimes E$는 허프도르프 경우조차도 자연스럽게 동형이 아니며, 이는 위상대수학의 기본 가정을 뒤집는다.

ABSTRACT

We show by example that the associative law does not hold for tensor products in the category of general (not necessarily locally convex) topological vector spaces. The same pathology occurs for tensor products of Hausdorff abelian topological groups.

연구 동기 및 목표

• 일반 위상선형공간의 범주에서 텐서곱에 대해 결합법칙이 성립하는지 조사하기.
• 허프도르프 및 완전 허프도르프 위상선형공간의 더 엄격한 범주로 제한했을 때도 결합법칙 실패가 유지되는지 확인하기.
• 허프도르프 아벨 위상선형군의 범주로 분석을 확장하여 유사한 비결합법칙적 행동이 발생하는지 평가하기.
• 반복된 텐서곱의 비동형성을 보여주기 위해 $ℝ^\mathbb{N}$를 사용한 구체적 반례 제공하기.

제안 방법

• 각 인자 공간에서의 균형잡힌 0-근방의 곱의 상을 생성하는 0-근방의 기반을 통해 대수적 텐서곱 $E_1 \otimes \cdots \otimes E_n$ 에 위상 정의하기.
• 이 위상이 캐논칼 $n$-선형 사상 $\tau$ 를 연속으로 만들며, 위상선형공간의 범주에서 텐서곱의 보편성질을 만족함을 증명하기.
• 외부 인자 $E_1$ 및 $E_3$ 가 국소적으로 유계일 경우 $(E_1 \otimes E_2) \otimes E_3$ 와 $E_1 \otimes (E_2 \otimes E_3)$ 가 자연스럽게 동형임을 증명하기.
• $E = \mathbb{R}^\mathbb{N}$ 인 경우 $E \otimes (E \otimes E)$ 와 $(E \otimes E) \otimes E$ 사이의 동형이 존재한다고 가정하여, 유한계수 행렬 근사에서의 조밀성 모순을 유도하기.
• 유한계수 행렬의 집합 $\leq N/2$ 는 $M_N(\mathbb{R})$ 에서 조밀하지 않다는 사실을 이용하여, 특정 합집합이 텐서곱 공간에서 조밀하다는 가정과 모순됨을 보여주기.
• 허프도르프 위상선형공간 및 허프도르프 아벨 위상선형군의 범주에서 동일한 추론을 적용하여 비동형성 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 위상선형공간의 범주에서 반복된 텐서곱에 대해 결합법칙이 성립하는가?
• RQ2 허프도르프 위상선형공간으로 제한했을 때도 결합법칙 실패가 유지되는가?
• RQ3 허프도르프 아벨 위상선형군의 범주에서도 동일한 비결합법칙적 현상이 발생하는가?
• RQ4 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 를 반례로 사용하여 반복된 텐서곱의 비동형성을 입증할 수 있는가?
• RQ5 완전 허프도르프 위상선형공간의 범주에서 텐서곱 구성은 결합법칙을 만족하는가?

주요 결과

• $E = \mathbb{R}^\mathbb{N}$ 인 경우, 반복된 텐서곱 $(E \otimes E) \otimes E$, $E \otimes (E \otimes E)$, 및 $E \otimes E \otimes E$ 는 실수 위상선형공간의 범주에서 자연스럽게 동형이 아니다.
• 비동형성은 텐서곱 공간 $\mathbb{R}^N \otimes \mathbb{R}^N$ 에서의 유한계수 행렬 근사의 조밀성에 대한 모순에서 기인한다.
• 계수 $\leq N/2$ 인 기본텐서의 집합은 $\mathbb{R}^N \otimes \mathbb{R}^N$ 에서 조밀하지 않으며, 이는 특정 동형이 존재한다는 가정과 모순된다.
• 허프도르프 실수 위상선형공간의 범주에서도 결합법칙 실패가 유지되며, 텐서곱은 여전히 비동형이다.
• 허프도르프 아벨 위상선형군의 범주에서도 동일한 문제점이 발생하여 반복된 텐서곱은 비결합법칙적이다.
• 완전 허프도르프 위상선형공간의 범주에서도 결과가 성립하며, 관련 텐서곱들은 완비이다.