[논문 리뷰] Tensor products with bounded continuous functions

Dana P. Williams|ArXiv.org|2003. 07. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 연속 함수 공간과 C*-대수 간의 텐서곱 동형사상에 대해 연구하며, $ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 가 동형사상이 되는 것은 $ X $ 가 가상완비일 때이고, 그 조건이 성립함을 보여준다. 또한 $ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 가 동형사상이 되는 것은 $ X $ 와 $ Y $ 가 모두 가상완비일 때 정확히 성립하며, 이는 곱 공간의 스톤-체카르트 컴acts이화가 곱의 컴acts이화와 일치하는 조건을 특성화하는 데 이르게 된다.

ABSTRACT

We study that natural inclusions $C^b(X) ensor A$ into $C^b(X,A)$ and $C^b(X, C^b(Y))$ into $C^b(X imes Y)$. In particular, excepting trivial cases, both these maps are isomorphisms only when $X$ and $Y$ are pseudocompact. This implies a result of Glicksberg showing that the Stone-Cech compactificiation $β(X imes Y)$ is naturally identified with $βX imes βY$ if and only if $X$ and $Y$ are pseudocompact.

연구 동기 및 목표

• 지역적으로 컴acts한 하우스도르프 공간 $ X $ 와 C*-대수 $ A $ 에 대해 자연스러운 사상 $ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 가 동형사상이 되는 조건을 규명하는 것.
• 노름 위상에서의 사상 $ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 의 동형사상 조건을 분석하는 것.
• 텐서곱 동형사상에 의한 가상완비성의 위상적 특성화를 수립하는 것.
• 텐서곱 기법을 이용해 글릭스버그의 결과, 즉 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ 의 곱의 구조를 회복하고 재증명하는 것.

제안 방법

• 알제브라적 텐서곱 $ C^b(X) \odot A $ 에서 $ C^b(X,A) $ 의 상한노름을 사용하여 C*-노름을 정의하고, 그 완비화인 $ C^b(X) \otimes A $ 를 유도하는 것.
• 함수 $ f \in C^b(X,A) $ 가 $ C^b(X) \otimes A $ 에 속해 있는 것은 $ f $ 의 범위가 컴acts한 폐포를 가진다는 것과 동치임을 증명하는 것.
• 국소 컴acts성과 파라컴팩트성의 가정 하에 분할 단위를 적용하여 유한 커버를 구성하고, 텐서곱 내의 함수를 근사하는 것.
• Frolík의 보조정리를 적용하여, $ Y $ 가 가상완비일 경우 $ \|f(x) - f(x_0)\|_\infty $ 의 상한노름이 연속적임을 보이는 것.
• 중첩된 이웃과 수열을 이용한 모순 증명 기법을 통해, $ Y $ 가 가상완비가 아닐 경우 사상 $ \iota_2 $ 가 전사가 아님을 보이는 것.
• 곱공간 $ X \times Y $ 가 가상완비임을 가정하여 $ C^b(Y) $ 내에서 수렴하는 부분수열을 추출하고, $ Y $ 가 가상완비가 아닐 경우에 모순을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C*-대수 $ A $ 에 대해 자연스러운 사상 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 가 동형사상이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 노름 위상 하에서 사상 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 가 동형사상이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 X 와 Y 가 가상완비일 경우, $ X \times Y $ 의 스톤-체카르트 컴acts이화의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 함수 $ f \in C^b(X,A) $ 의 범위와 그가 완비 텐서곱 $ C^b(X) \otimes A $ 에 속하는 것 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 글릭스버그의 결과 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ 는 텐서곱 동형사상으로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• C*-대수 $ A $ 가 무한차원일 경우, 사상 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 는 $ X $ 가 가상완비일 때이고 그 때에만 동형사상이 된다.
• X 가 무한이고 가상완비일 경우, 사상 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 는 $ Y $ 가 가상완비일 때이고 그 때에만 동형사상이 된다.
• X 와 Y 가 가상완비일 경우, 곱의 사상의 자연스러운 연장에 의해 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ 가 성립한다.
• 함수 $ f \in C^b(X,A) $ 의 범위가 전완비일 것과 $ f \in C^b(X) \otimes A $ 에 속할 것 사이의 필요충분조건이 성립하며, 이는 텐서곱 사상의 상을 특성화한다.
• Y 가 가상완비가 아닐 경우, $ F \in C^b(X\times Y) $ 에 대해 반례 함수를 구성할 수 있으며, 이에 대응하는 $ f(x) = F(x,\cdot) $ 는 연속적이지 않아 $ \iota_2 $ 가 전사가 아님을 보여준다.
• 증명은 $ X $ 내의 수열 $ \{x_n\} $ 과 $ Y $ 내의 서로소인 전완비 열린 집합 $ \{V_n\} $ 을 구성함으로써, 연속성 가정 하에서 가상완비성 조건에 모순을 이끌어내는 데 의존한다.